虚数コミュの質問です

大学のテストでこんな問題が出ました。

l={(Xn)⊂R:?(n=1～∞)|Xn|^2＜+∞}　とする。
(Xn)+(Yn)=(Xn+Yn) α(Xn)=(αXn)
||(Xn)||=√(?(n=1～∞)|Xn|^2)
<(Xn),(Yn)>=?(n=1～∞)XnYn *内積の証明は不要

lは線形空間になり
||(Xn)||=0⇔(Xn)=(0)←零ベクトル
||α(Xn)||=α||(Xn)||
||(Xn)+(Yn)||≦||Xn||+||Yn||
||(Xn)||=√(Xn,Xn)
α((Xn),(Yn))=||(Xn)-(Yn)||
について、
d((Xn),(Yn))=0⇔(Xn)=(Yn)
d((Xn),(Yn))=d((Yn),(Xn))
d((Xn),(Yn))≦d((Xn),(Zn))+d((Zn),(Yn))

(1)
d(X,Y)について
lは完備になる(コーシー列が収束する)ことを示せ。
Xがコーシー列⇔∀r＞∪∃n｡∈

(2)
lがヒルベルト空間になることを示せ。

(3)
e1=(1,0,･･･),e2=(0,1,0,･･･),･･･,en=(0,･･･,0,1,0･･･)･･･
とすると{en}はいかなる部分列も収束しないことと、ある元a=|a|∈lとすると<a,en>→0(n→∞)となることを示せ。

(4)
B={(Xn)∈l:||(Xn)||≦1}
T:B→B:非≠広大　すなわち
||TX-TY||≦||X-Y||とする。
F(T)={X:X=TX}は空ではない。
F(X)=<a,X>とするとFはLineer
<X,Y>=<Y,X>を示せ。

問題は以上です。解ける人は助けてください！
∩(・∀・)∩