統計家コミュの最尤法の正則条件

経済学を専攻しております。

最尤法の正則条件はいくつもありますが、特に

「確率分布が共通のサポートを持つこと（分布がパラメータに依存しないこと）」

という条件が、最尤推定量の一致性を示す際に必要な理由が直感的に理解できません。

ご教授頂けたら幸いです。

コメント(7)

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[1] mixiユーザー 10月06日 03:18

「正則」（regularity or holomorphic)という語句は、
人によってイメージがまちまちなので、
あまり使わないほうがいい語句だとおもいます。

そのため「最尤法の正則」とは何なのかわかりにくく、
質問の意図も明確に伝わりません。

もう少し、問題点を特定していただけると、何か解るかもしれません。

[2] mixiユーザー 10月08日 15:14

＞竪琴Ｑさん

コメントありがとうございます。正則条件はRegularity Conditionという言葉の訳として使わせて頂きました。

[3] mixiユーザー 10月08日 17:11

Hogg, McKean and Craig の Introduction to Mathematical Statistics (Sixth Edition) の313ページに証明があります。日本語だと豊田秀樹監訳「数理統計学ハンドブック」の327ページです。

[4] mixiユーザー 10月08日 17:55

>f.u.m.さん
コメントありがとうございます。実は、Hogg, McKean and Craig の Introduction to Mathematical Statistics (Sixth Edition) の313ページを丁度読んでおりまして、この疑問に突き当たった次第です。この証明の流れはよく理解できるのですが、313ページに書かれておりとおり、サポートが一致していないと最後の等式が導けないのかどうかという点で煮詰まってしまいました。細かい話で恐縮です。

[5] mixiユーザー 10月09日 12:27

真の母数をもつ分布 f(x;\theta_0) に従う確率変数 X に関する期待値なので、その積分範囲は f(x;\theta_0) の台 (A とおく) です。ところが f(x;\theta_0) がキャンセルされて、結局 f(x;\theta) を積分することになります。したがって f(x;\theta) の積分結果が 1 になるためには、f(x;\theta) の台も A でなければいけません。たとえば f(x;\theta) の台が A よりも広ければ全範囲で積分したことになりませんよね。

ちなみに、はじめのトピたての文章で「（分布がパラメータに依存しないこと）」とありますが、「（pdf の台がパラメータに依存しないこと）」の間違いですね。

[6] mixiユーザー 10月09日 19:10

>f.u.m.さん
たびたびのコメントありがとうございます。非常に参考になり、助かっております。
同じ研究室のモンゴル人留学生からも同様の答えを頂き、今のところ半分だけ納得致しました。半分といいますのは、次なる疑問が浮かんできてしまったからなのですが。。。笑
確かにpdfが共通のサポートを持つという条件を課せば、上記定理の証明は完了することはよく分かりました。しかし、真のパラメータを持つpdfのサポートがより大きければ共通のサポートの条件はいらないのでしょうか。この場合、共通のサポートを持つという仮定よりも弱い条件で証明できてしまうのでは、と考えているのですがいかがでしょうか。

おっしゃるとおり、トピの文章にはタイポがありますね。実は、Lehman and Casella (1998) Theory of Point Estimation, 2nd edition pp.443-444.にも同様の定理が載っておりまして、こちらでは確率分布関数に仮定をおいています。それに従えば、「分布（のサポート）がパラメータに依存しないこと」と書くべきでした。御指摘ありがとうございます。

[7] mixiユーザー 10月11日 11:59

「一般的なパラメータ \theta の台 \supseteq 真のパラメータ \theta_0 の台」は成り立たないとおかしいように思います。「\theta_0 \in \Omega」なわけですし、「\theta=\theta_0」の場合も含んだ台なので。

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