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ガロア理論

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詳細 2016年12月7日 09:51更新

Galois理論の美しさに心酔した人集合。

ガロア理論(ガロアりろん、Galois theory)は、代数方程式の根(多項式の零点)の対称性について "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する理論である。1830年代にエヴァリスト・ガロアが方程式の可解性の条件を定式化するために作った方程式論に始まるとされるため、この名がある。

ガロア理論によれば、(特に有限次の)"ガロア拡大" と呼ばれる体の代数拡大について、拡大の自己同型群の部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。

また、与えられた方程式(あるいは体のガロア拡大)のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた抽象群をガロア群にもつ方程式(あるいは体の拡大)を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。

代数方程式が代数的に解ける、つまり係数に対する四則演算と根号の有限回の組合せだけで解けるというのは、その方程式のすべての根がその方程式に現れる係数と有理数の作る体の "適当な" 冪根拡大に含まれるということである。もちろん、有理数体に根を全て添加した体(方程式の分解体 (splitting field))の中で方程式は解くことができるので、この 2 つの体が一致するというのも代数的に解けるということの言い換えである。

一方、「n 次方程式は重複度をこめて n 個の根を持つ」(分解体の存在)という定理を用いると、方程式の係数は根の基本対称式であること(根と係数の関係)が分かるから、係数の体はいかなる根の置換によっても不変であり、根の置換は方程式の分解体における自己同型を引き起こす。したがって分解体の自己同型を調べることで方程式の可解性について考察することができる。また特に、方程式のすべての根が係数を用いて書けるのであれば、そのような根の表示はいかなる根の置換によっても不変となるはずであり、代数的な根の公式は根の置換に関する対称性を備えていなければならないことを理解する。

この根の置換というものの全体を考えるところから群論が発生した。つまりこの場合でいう群とは置換の群つまり対称群のことに他ならない。この根の置換の全体がつくる群(これは対称群の部分群になる)を考えたものが方程式のガロア群 (Galois group) である。

冪根を添加する拡大の自己同型の持つ性質を特定することで、方程式が可解であることの必要かつ十分な条件として「方程式のガロア群が可解群であること」というガロアの定式化に達することができる。 特に、5次以上の一般方程式のガロア群は可解群ではないことが知られており、このことから5次以上の代数方程式は 一般に可解でない(代数的な根の公式が存在しない)という有名なアーベルの定理を得る。

また、根を全て含まなくとも、いくつかの根を含む体というものを考えることができる。これは全ての根を含む体の中間体である。このとき、元の方程式はいくつかの一次式と二次以上の既約な方程式に分解されるが、この二次以上の式を分解する体というのはやはり(中間体が含む根以外の)残りの根の置換によって不変である。体の拡大において、ある体上で既約な多項式の分解体となるという性質を正規性といい、中間体の正規性はガロア群の部分群が正規部分群であることに対応している。

このような考察によって、根の置換という操作の作るガロア群の部分群と、その部分群に属するいかなる置換よっても不変となる体との対応関係を考えることができるが、これが一対一であるというのがガロア理論の 1 つの骨格である。

抽象代数学においては、方程式とその分解体という具体的な対象を一旦放棄して、体の任意の代数拡大を取り扱うことになるが、上と同様な考察をするためには拡大の分離性と正規性を要求することになる。このような拡大はガロア拡大 (Galois extension) と呼ばれ、体のガロア拡大(の中間体の全体がつくる順序集合)と、拡大のガロア群(の部分群の全体がつくる順序集合)との対応関係を記述する理論を、一般にガロア理論と称する。

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