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〔GIF〕無限大蛇 ∞

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詳細 2014年5月26日 01:34更新

無限(むげん、infinity)とは、限りの無いことである。

直感的には「限界を持たない」というだけの単純に理解できそうな概念である一方で、直感的には有限な世界しか知りえないと思われる人間にとって、無限というものが一体どういうことであるのかを厳密に理解することは非常に難しい問題を含んでいる。このことから、しばしば哲学や論理学、あるいは自然科学などの一部の分野において考察の対象として無限という概念が取り上げられ、そして深い考察が得られている。

本項では、数学などの学問分野において、無限がどのように捉えられ、どのように扱われるのかを記述する。           

  無限に関する様々な数学的概念
無限大 :∞ (アーベルなどはこれを 1 / 0のように表記していた) いかなる数よりも(その絶対値が)大きな数と取られることもある記号、もしくは拡張された数。これは一つの数を表すものではく、限りなく大きくなりうる変数と考える。実数の拡張としての無限大には + と − があるが、複素数においては無限遠点はただひとつである。
無限小 (infinitesimal): いかなる数よりも(その絶対値が)小さな数ととられることもある記号あるいは拡張された数。無限大と同じく、これは一つの数を表すものではなく、限りなく小さくなりうる変数と考える。微分積分学における dx などの記号は、これが無限小であるとする考え方は、19世紀を通じて否定されるようになったが、20世紀後半からは、超準解析の立場から見直されるようになった。
感覚的にはわかりやすいと思われる直観的な無限大・無限小の概念ではあるが、現代的な実数論には直接的には存在しない(いわゆる ε-δ 論法によって量的に扱われる)。一方で、超準解析などにおいては数学的に定式化され、その存在を肯定される。

無限遠点 : ユークリッド空間で平行に走る線が、交差するとされる空間外の点あるいは拡張された空間における無限遠の点。平行な直線のクラスごとに一つの無限遠点があるとする場合は射影空間が得られる。この場合、無限遠点の全体はひとつの超平面(無限遠直線、無限遠平面 etc.)を構成する。また全体でただ一つの無限遠点があるとする場合は(超)球面が得られる。複素平面に一つの無限遠点 ∞ を追加して得られるリーマン球面は理論上きわめて重要である。無限遠点をつけ加えてえられる射影空間や超球面はいずれもコンパクトになる。
無限集合: 有限集合(その要素の数が有限である集合)でない集合。
可算無限集合: 自然数全体 N からの全単射が存在する、すなわち数え上げ可能な無限集合。整数の全体、有理数の全体、代数的数の全体などはそうである。
無限小数: その小数表示が有限の桁ではない数。
無限列: 数(あるいは点などの要素)に番号をつけて無限に並べたもの、つまり長さが無限の数列、点列など。より厳密には自然数全体の集合 N 上で定義される写像。

デデキント無限
ある集合が自身と対等な(すなわち同じ基数を持つ)真部分集合を含むとき、その集合はデデキント無限であるという。デデキント無限でない集合はデデキント有限であるという。デデキント無限集合は常に無限集合であるが、その逆を証明するには弱い形の選択公理が必要である。全ての無限集合がデデキント無限集合であるというのと、全ての無限集合が可算無限部分集合を持つことは同値である。
      

何かに無限の可能性を感じるコミュニティ。

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2008年3月26日

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カテゴリ
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