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数学コミュの中学・高校から数学力を伸ばすことは可能か。

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もう十年以上前の話ですが、高校時代、数学の教師に「数学は暗記科目だ」と言われました。数学が好きだった私としては、それに違和感を覚えたのですが、確かに数学の問題に取り組む際には、類似の問題の解法を応用して解いていることに気付き、結局自分の数学力は膨大な問題演習に支えられた暗記タイプの学力でしかないのかと思い知らされました。
このパターンの問題はこの形に持っていく事が多い。
この場合はとりあえずこの公式を使うんだ。
などと考えながら問題を解いていくうちに、数学のセンスのなさを痛感させられ、成績が上位であってもだんだん数学に興味がなくなっていきました。

私は数学力とは閃き力だと思っています。知っている問題を解けることに意味はなく(極端な言い方ですみません)未知の現象に対して思考を巡らせるとき、正確な方向性を感覚で見つけ出せる力だと思っています。
学生時代の知人は、未習の問題も簡単に解いていました。なぜそんな事が出来るのかと尋ねると、決まって「なんとなくこれで解ける気がしたから」と言っていました。


この「なんとなくの力」こそ数学力だと思います。これは生まれつきの、もしくは幼少期の環境による能力なのでしょうか。中学・高校になってから、何かの訓練により、この閃き力を鍛えることはできるのでしょうか?

コメント(19)

数学を苦手としている人の傾向のひとつに、
(自分からすると)妙なところでつまずいてそこから先進まなくなるというのがあるような気がしています。

思いついたことはとりあえずいろいろやってみる、計算は面倒くさがらずにやる…。
「ひらめき」については、ある種のセンスがあるようにも思いますが、
問題をいろいろ解いて経験を積むことである程度カバーできるのではないかとも思います。
一般的に(数学に限らず)直感力は経験を積み重ねることである程度ついてくると思います。
返答ありがとうございます。
実は今、子供に数学を教える立場にあるのですが、私が教えている数学に限界を感じている面があってトピックを立てさせていただきました。

MS15さんのおっしゃる通り子供がつまづく所は本当に妙な点が多くて(数の大小の概念が理解出来ていない等)頭を悩ませております。

そこで、ここの皆さんのお知恵をお借りしたいと思ったのですが、やはり大量の問題演習が数学力の向上とイコールなのでしょうか。
当然、経験を否定するつもりはありません。点数を取る上で詰め込みによる定着に勝るものはないとも思っています。ただ、それはやはり知っているから、こうすれば解けることを覚えているから出来ることであり、裏を返せば忘れてしまうと出来ない程度の能力でしかないということになります。
公式の証明など、自分に出来ることはしているつもりですが、どうしても私の生徒には「どうやるんだっけ?」と考える生徒が多くて「どういう現象だっけ?」と整理し直そうとする生徒が少ないように思います。

力量不足を露呈しでお恥ずかしい上に何が言いたいか分からないトピックで申し訳ありません。このモヤモヤ、読み取って頂けるでしょうか?
私の見解なんですが、数学を学ぶ人の主流が受験生であり受験数学の傾向があるのではないでしょうか?そこで受験に伴う数学力を養う為に、難解な演習問題の解き方を覚え、公式は暗記する手段をとるんではないでしょうか?受験も数学を学ぶ立派な動機なんだとは思いますが、学ぶ目的により数学の捉え方も違うように思いますね。数学力には計算力やおっしゃるような閃きも必要と言われますが、しかし大概の人は学問としての数学の重要性を認識しますが、数学を研究し数学者としての道を進む人は僅だと思います。そこで受験数学を、どのようにして点数を取るのかに帰結することはしかたないように思います。ある先生は点数をとるのに暗記だと教える人もいるではないかと思いますね。難解な受験数学が解けなくても解答を読んで、なるほどこういう論理で解答を導くんだと感銘を受けることもあります。これが受験本場では点数にはなりませんが、過去に天才数学者が構築した叡智に触れ共有できたことを嬉しく思ったりします。おそらく受験生は数学の楽しさとは別次元ではないかと思います。受験に必要な難解な演習問題の解き方を学びますがオイラーのような数学者の素質があるならば別ですが、大概は始めは解けないと思います。因みに数学の点数がとれなくては目的は達成できませんからね。
>>[7]
返答ありがとうございます。
何か、すごくすっきりしました。
受験数学と数学を別の次元と捉えていると捉えると(日本語おかしい)と非常に納得できますね。

子供達が数学の解法を覚えては忘れを繰り返し、悔しさから数学が嫌いになっていく姿を見ていると、自分はこんな事をするために教育者になったのではないと無力感に押しつぶされそうになります。
ならば暗記に頼らず、理解によってその場で解法を作り出せるような学力を、と思い試行錯誤を繰り返していました。ただそれも善意の押し付けになっていたのかも知れません。
子供達にとっては、求めているものとは別次元の話題を、抽象的で理解しにくく曖昧な概念の知識を、暗記という単純で手っ取り早い方法があるのに、貴重な時間を使って延々と話されたのではたまったもんじゃないですよね。

なんか卑屈な文になってしまいました。笑
そうではなく、また新しい指導の指針が見えたように思います。ありがとうございます!
ところで、mixiは普段ロム専なのでよく分からないのですが、3〜6番が飛んでいるのは書き込みが削除されたのですか?
色んな意見を見落としたかと思うと非常に残念で申し訳ないです。。
昔、生徒に数学を教えていた頃は「すべて解かれたことのある問題で、君らが解き方を考え出す必要はない。賢い先人がどう解いたか、理解し、真似をして解くように。」と言うようなことを繰り返し言ってた覚えがあります。悪い先生でしたねw
「ルールは身を以て調べる」(Byもやしもん)数学をやっていて…何でも自分で見つけ出したい人もいますね。
>>[10]
初めまして。
あくまでも私の体験なので、参考になるか分かりませんが…
私は小学生時代、算数が悲惨な成績でした。特に対策取ることもなく中学に上がり初めての中間試験で32/100点だったので、数学担当教師から呼び出しされて毎日大量の個人的な宿題を出されました。

荒治療ではありますが、私には効果てき面で最終的には数学教師と言う職に就いた経験があります。
私は当時「数学は楽しい教科」だと感じれるまでになったんですが、それは何より教師が生徒に「マニアック」とあだ名が付くくらい、数学を自ら楽しんでたからだと思ってます。「大人があんなに夢中になるものって、どれだけ楽しいのかな?」そう思いました。だから、私自身が教師になって数学を楽しみました。

数学が暗記教科だとは感じないので、元々私には数学を楽しむ要素があったのかもしれませんが、これはセンスでは無いとも思ってます。
やはり、中学時代に受けた荒治療が楽しむ基礎になってます。

閃きやセンスで問題が解けることもある。でも、その基礎はやはり経験じゃないか?と思います。「努力」ではなくて「経験」。

閃きやセンスは、意識の世界ではなくて無意識の世界で起こると思うので、そこにさり気なく「経験値」が組み込まれてることに気づかないんだと思います。

私は落ちこぼれからの人間ですから、未だに経験値に頼っているだけかもしれませんが…

最後にひとつ。
母から受けた教育に、「何事も『何をどうしろと問ているか』を瞬時に読み取れ」と言われていました。勉強も会話も。
だから、どんな教科も暗記教科ではないとも思ってます。

暗記教科と言う言葉は受験用語であって、知識に繋がる勉強に暗記は通用しないと思うのです。

長くなりました、こんな体験をした人間もいるって感じて下さるだけで幸いです。
答えに適してるか分かりませんが…
>>[10]
私も普段は子供に数学を教えています。
しかし高校数学の板ではよく質問し、百戦錬磨の皆さんの知恵を借りて助けてもらっています。

『数学は閃き・センス』という言葉は、むしろ生徒から聞かされることが多いです。
そういう風に言えばできない自分を正当化できますからね。

しかし私もやはり閃きというのは今までの知識の集約なんじゃないかと思っています。
1週間考え続けて答えが理解できないとかザラにありますが、8日、9日と考えてるうちに少しずつ、ぼんやりとわかってくる感覚を大人になってから経験しました。(とはいっても高校数学の問題ですよ(笑))
とにかくはいつくばってでも答えに辿りついてやる、という粘りが数学はとくに必要だと思いました。
かといってこれを子供に実践させられるかと言えば、今の私には無理そうです。
だからせめてもの、自分ができるだけ楽しみながら授業するように心がけています。
なんて言ったらよいか…
正直、大学数学まで学んでやっと中高数学でやって来たことが解るように思います。
高校生ですが、数靴魍悗椶Δ箸靴燭箸海蹇◆孱のごく近くで…」というところで分かりにくくなってしまう。
昔の中学数学で、「xの要素がfによってyの要素に変換される」関数の概念を学ぶところで多くの子がつまずくと聞ききました。

大学数学では「…あぁ電球」と思うでしょう。

私も数学は暗記ではないexclamation ×2と言って、原理を教えようとしましたが、子供達は寝てしまいます。

今は、数学は暗記ではないけれども、問題をたくさん解いて公式を使いこなせるようにしようわーい(嬉しい顔)指でOK
という方針ではないでしょうか?

また、昔、私の先生が「公式を暗記するが、沢山使っているうちに定着した『知識』になる」と言っていました。
脳の使う場所が、にわかに暗記したところから脳に留まるところに移るようです。
先生は、当時、東大医学部の学生でした。

小学校では、計算を早く正確に出来る様に(10までの自然数)足し算引き算掛け算(九九)を徹底して覚えます。これはこれで大切だと思います。

中高数学では、作図や論証など考える要素が沢山あるでしょう。

先ずは、数学の問題を「解ける喜び」がその先に繋がるかな?

私が数学科を目指した理由は、数学の問題は解けないもうやだ〜(悲しい顔)難しい泣き顔だったけど、
数列やベクトルなど世界の違うものを学び、世界の広がりを感じたから。
ベクトルは中学理科でも少し触れていますし、数学が理科に広がっていく自然科学に広がっていくことも感じたからです。ウインク
モーツアルトの音楽とかちゃちゃ入れを見ていると、私も共感します。ウッシッシ
小さい頃から音楽旅行に駆り出されて、沢山の音楽に触れた結果、神童になったのでしょう。

「天才とは99%の努力と1%のひらめきである」

99%の努力(経験)は大きいと思います。わーい(嬉しい顔)
大学教授が
「偉大な先人たちが創り上げてきたものを使わないのは勿体ない」と言っていました。
私達は偉人たちが残した多くの知識を学んでいます。
否定して1から考えるのも良いけれど、受験勉強をしている時に言われたのは、
1つ1つ考えているより問題を解いた方が良いということでした。あせあせ(飛び散る汗)
スポーツと同じで、やはり練習は欠かせないと思います。その積み重ねのうえに、はじめてひらめきや発想が生まれるのではないでしょうか。

ただ「暗記科目だ」と捉える人の中には、ただ公式を覚えて当てはめるだけだと勘違いしている人も多いように感じます。たとえば、直線の方程式を導くのに、つぎの3つを「丸暗記」したりするわけです。

・傾きとy切片
・傾きと1点の座標
・2点の座標

けれど、直線はまず傾きを調べて、1点で特定するのだと「理解」すれば、公式を忘れても自分で導けます。もちろん、試験では暗記した方が早いし有利です。でも、何度か自分で導けば覚えますし、丸暗記のような間違えも起こりません。

あるいは、y軸に平行な直線が出てきたとき、丸暗記では公式が当てはまらないので、途方にくれるしかないでしょう。けれど、直線の導き方を理解していれば、x軸に平行な直線とy軸を入れ替えただけだと気づけます。

覚えて練習しなければならないことはたしかですけれど、丸暗記でなく考え方や関連性を理解することで、応用する力が養われるのだと思います。
皆さん色々なご意見ありがとうございます。
一人一人に返事は出来ませんが、為になるご意見ばかりでトピックを立てて良かったです。

私自身、勉強は上に積み上がっていくものではなく根本に潜っていくものだと思うようになりました。今は理解出来なくても、先に進んでいった結果、後から事象が理解できれば良いと思うということですね。

皆さんの経験など、非常に面白く読ませて頂きました。

なぜか、ふと、小学生の生徒が立体の体積の問題で「これは円柱を半分にして計算しますか?底面積を半分にしてから高さをかけた方が綺麗ですか?」と答えとは関係のない所で悩んでいるのをみて微笑ましく思ったことを思い出しました。どうか、皆さんの様に数学の美しさを感じられる大人になって欲しいものです。

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