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数学コミュの高校数学 分からない問題はここに書いてね No.22

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コミュ内全体

No.21が完結しますので、 No.21 1000コメント記入終了しだいNo.22へ記入をお願いします。

※高校数学レベル(大学受験レベル含む)の単発質問はここにお願いします。その他の単発質問は他の適切なトピックにお願いします。

質問する時は、
・丸投げはしない。
・どこまで分かっていて、どこが分からないのかを明記する。
・自分で解決した場合は、他の人の為にその結果を書き込む。
・時々、質問される方が問題を誤解していたり、大事な条件を見落としていたりする事があるので、お互い無駄な時間を浪費しない為にも問題の全文を書く、出典元や分野を書くなどしておいた方が無難でしょう。
・質問する際には自己の責任を持って書き込み、回答が得られた後に理由無く質問を削除しない。
などに気を付けて、気持ち良く交流しましょう。

また、書き込みをする前に、問題に間違いが無いか再度見直しをして下さい。

悪い例.
「〜という問題を解いて下さい。」←だけ。
「〜という問題が分かりません。」←だけ。

回答される人達は、ヒントだけを示す事が多いようなので、答えが欲しい場合は、ヒントを元に自分で考えた結果や過程を書き込むと良いでしょう。

なお、回答される方々は、学校でのレポートや宿題の不正な代行を防ぎ、自力での解決を促す意味で、ご面倒でしょうがあまり最初から懇切丁寧な解答を与えないようお願いします。せめて、最後の「まとめ」ぐらいは自力でして欲しいからです。

注意:
ここ数年、ネットさえあれば思考力や自力での勉強は全く不要と考える学生がかなり増え、全国的な学力低下に更に拍車をかけていますので、どうかくれぐれも宜しくお願い致します。

前とぴ
http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=74496694&comment_count=1000&comm_id=63370

コメント(52)

>>[12]

その公式自体の証明の方法にsin x < x < tan xのはさみうちを使用する方法がしばしば採用されますが、それ自体が高校数学の範囲では循環論法になっていないのかなあ、と悩んだことがあります。
極限のようなものに置き換えて議論するのはスマートかと思いますが、
この問題はある意味公理公準を言い換えているだけのようなところがありますので、
自明といえば自明、人により感覚は違うかもしれませんが、証明するまでもないことと捉えられる事かもしれません。
9を図示してみました。(円と接線の関係ならば2等辺三角形になるかと思いますが、それでは単純すぎるので、敢えて辺の長さを不均衡にして、円弧と弦が同じ長さになる場合、内接・外接する場合、を描いてみました。図中の黄色い円弧が赤い二辺の合計と同じ長さになるようにしています。接する角度が90度を超えてしまっているので、弦と別にそれぞれの辺との交点ができてしまっています。
接戦の性質から三角形内部に二辺の合計と同長させる事は不可能ですので、それらは反証的に否定されます。)
直観的には自明なことを証明するには相当な基礎が要るのですね。
高校までの数学は曖昧なことも多いのですが…

☆合同の定義
正三角形を頂点から二等分した両図形(三角定規の形)は空間では重なるから合同
だが
正四面体を頂点と辺中点を通る点で両断した両立体(空間では重ならない)は合同か?

☆導関数
導関数の定義が
lim[h→0]f(x)-f(x-h)/h
ならば
y=1/xには導関数はないのか?
>>[15]

どなたもコメントを返さないようなので書きますが…

―鼎佑燭韻譴4次元空間内の移動で裏返り、重なります。だから合同。
 平面でも立体でも線対称な図形、面対称な図形は合同とされています。

△修里茲Δ膨蟲舛垢襪函△覆柴慨愎瑤ないとお考えなのか、その理由まで書いてくれないと返事のしようがありません。(というか、その定義でも1/xの導関数は-1/x^2と求まりますが。)
>>[016]
高校数学は後付けで概念が出てきたり定義が拡張されたりするので(教育過程としてはやむを得ないとしても)ある程度の年齢から学ぶには手戻りが多くなって非常に困るのです。
々盥賛学は平面図形の合同の議論に突如として空間が出てくるのですが。本来は対象が先で合同が後なのですか。
lim[h→0]((1/x)-(1/(x-h))/h
分子の方が速く0に近づくのですか
>>[17]

△亮阿蓮(-1)/(x*(x-h))と整理できるので、h→0のとき-1/x^2となります。
数列
n≧3のときF[n+1]=F[n]-[n-1]
について。
ほとんどの場合、F[n+1]/F[n]は収束しないようですが
最初の2項の選び方によって
lim[n→∞](F[n+1]/F[n])

(2+√3i)/2

(2-√3i)/2
になることもあるのでしょうか?
こんにちは、割り込み失礼します。
【二次関数】について2つ質問をさせてください。
(ひょっとしたら中学数学の範疇になるかも知れませんが…)

-------------------------------

グラフを書くとき、分数や√など整数以外が入ると、
⇒1.【どこに点を打てばいいか】が分かりません。;;
(2分の5、または5分の2など)

また、下記の問題で、
交点で√6が出てくるまではいいのですが、
「√6はおよそ2.4なので…」とありますが、
⇒2.【どういう考え方で2.4としたのか】が分かりません。(←数値が決まっていて暗記するもの?)

------------------------------


初歩的なことで申し訳ないですが、どなたかアドバイスいただけると嬉しいです。

宜しくお願いします。
>>[22]

√6がだいたい2.4ぐらいなのかどうかについては、

2.5*2.5=6.25
2.4*2.4=5.76
2.45*2.45=6.0025
2.44*2.44=5.9536

とかやってもなんとなく見当つくんじゃないかと…。
(上記から2.44…であることは間違いなさそうなので、有効桁数2桁では√6は2.4)
(計算面倒だしエレガントなやり方じゃないですが…(^^;))
>>[022]
極値、切辺、交点は必要と思います。
双曲線の場合は極論すれば象限さえ合っていればよいと思います。
>>[22]

5/2や2/5をグラフの目盛りのどのあたりにプロットしたらいいかわからないという話でしたら、

5/2=2.5
2/5=0.4

1cmの目盛りまでしかない方眼紙に2.5cmや0.4cmをどうやってプロットするかについては、目盛りの10分の1までは目見当で読んだりプロットしたりするようにと、理工系の大学の実験の授業では要求されます。

0.5だったら目盛りのちょうど半分でいいですけど、0.4だったら半分よりちょっと下とか、0.3や0.2だったら半分の半分のちょっと上とか下とか、0.1だったら0.0と0.2の間とか…。

質問とずれているようでしたら、すみません。
>>[22]
√6についてですが、
√2*√3=1.41421356*1.7320508ですから、概略として、
1.4*1.7=2.38で大体2.4として考えればいいのではないでしょうか?

グラフは書き方の練習ですから、正確性をどれだけ図の中に反映できるか、という点に気をつければいいのではないでしょうか?(仮に試験に出ても方眼升目の中に書けと言ってるのではないので、自分が分かりやすい範囲で数値を反映したグラフになっていれば(計算した点がグラフに入っていれば)、問題ないかと思います。)
>>[22]

時代が違った(50年以上前)からか、教師の趣味だったのか、私らの年代では多くの生徒は、√2から√10までは、例の語呂合わせで覚えさせられましたよげっそり

http://mathtrain.jp/sqrtgoro
http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/NaturalSci/math/mathhuroku1.htm

大きい数(例えば√85とか)の平方根については、両側から挟む方法で整数部分は解りますね(あ、9とあとちょっとだ!)。だいたいの場合は整数部分だけですむことが多いと思います。
>>[30]

小学生のころ普通の電卓や関数電卓で遊んでたのでこのあたりはなんとなく頭に入ってました。
(意味はわかってませんでしたが(^^;))

√2=1.41421356…
√3=1.7320508…
√5=2.2360679…
π=3.141592653…
e=2.718281828…

(√6、√7は記憶になし(^^;))
問題 y=sinxの周期のうち、正で最小となるものは何度か。

問題の意味がわからなく、どのように考えたら良いのかもわかりません。答えは360度となるみたいですが、どなたか教えて下さい。
よろしくお願いします。
>>[32]

こちら参考になるかと思います。

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1170631206
>>[32]

こちらもご参考まで。

周期関数:
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%91%A8%E6%9C%9F%E9%96%A2%E6%95%B0
>>[32]

「y=sinxの周期のうち、」…まず、周期とは?

どんなxにもf(x+p)=f(x)が成り立つとき、pをf(x)の周期という。
ですから、さらにかんがえれば、上の式のxにx+pを代入して、 f((x+p)+p)=f(x+p) が成り立ちます。すなわちf(x+2p)=f(x)です。
この式から2pもf(x)の周期であることが解ります。一般に周期のある関数の周期はある数pの整数倍(マイナス倍も可)はすべて周期になります。


sinxなら、360°も720°も、−360°も周期です。
sin(x+360°)=sin(x)だし、sin(x+720°)=sin(x)だし、sin(x-360°)=sin(x)だし。

というわけで、周期関数の周期は無限にたくさんある。でもそれらはある正の数pの整数倍になっている。

この状況で、「周期のうち、正で最小なもの」を答えよ、といわれています。
だから答えは360°。

サインカーブの最小単位の範囲、ということです。
皆様!
すごくわかりやすい解説ありがとうございます。
納得できました。
ありがとうございます☆
MS15さん、無用先生さん、Takaoさん、inbidiさん、くさぼうぼうさんへ


お返事が遅くなってごめんなさい!
皆様とても丁寧にお返事を頂けて、嬉しかったです。


>分数と√のグラフ
なるほど、「小数に直してからグラフに記入する」のですね。
(↑そこかよ!?と思うでしょうが、本当に数学が苦手で、もう、この時点から理解していませんでした。)
てっきり、√や分数のままの状態で、なんとかして記入するものだと勘違いしていたので、
気付けて良かったです…。

>√6について
各√ごとに数値が決まっていて、そこから√6は2.4…と言っていたのですね。
そのことを知らなかったので、
「どこから2.4出てきたんだ…」と思っていました。
また、その考え方についても丁寧に解説をしていただき、ありがとうございます!


疑問点はすべて解決できました。
これからも、このような初歩レベルの質問をしてしまうかもしれませんが、
またお世話になれたら嬉しいです。
直線A
2y=x+1

直線B
y=(x+1)/2
について。
AとBは同じ直線だからAとBのなす角はない
のでしょうか?
一般に。二直線のなす角には上限と下限はない…
角の概念を0≧θ≧2πで定義しても二直線の角であればπの倍数は除外されて端が開く…
のでしょうか?
>>[39]
ゞいて言えばなす角度は0でしょうか。
0≦θ<πが一般的だと思います。

違ったらすみません。
>>[39]

http://euc-elements.matrix.jp/01/E-Elements0100.html
> <角>
> 定義1ー8(平面角)
> 平面角とは
> 平面上にあって
> 互いに交わりかつ一直線をなすことのない
> 二つの線相互の傾きである。
> (以下省略)
ありがとうございます。
>>[040] ぷんぷん丸さん
三角関数と違って古典幾何では角に正負の方向がないということですか。
すなわち最小の角が0で最大の角はない。
しかし三角形の内角の和は直線角に等しい証明もあるのて…

半直線の角はπになり得るのですか。
>>[041] MS15さん
原論では最小角もないのでしたか。
実際には二つの直線を与えたときに
それが同じものか、違うものか?
が最初から解らないこともあるから
代数幾何になると角0も認めることが多いと思いますが
教科書では原論を教えないからそのあたりの議論は度外視されているのでしょうか。
>>[42]

すみませんあまり厳密なことはわかりません。
△亡悗靴討蓮■可樟のなす角がπに達した瞬間、なす角は反対の小さい方を適用する気がしたからそう答えました。
厳密なとこはわからないですm(。_。)m
すみません。
子供に数学を教えているのですが、全然分からなくて解き方を教えて下さい。
自分で公式もみましたが、解決できませんでした。
よろしくお願いします!
>>[44]

この手の因数分解は、「次数の少ない文字について降べきの順に整理する」が原則です。この場合はzについて整理。

事情が分かりましたので、結論まで書きますね。(少し途中省略)

与式=-2(x^2-y^2)z+(x^2y-xy^2)=-2(x+y)(x-y)z+xy(x-y)
  =(x-y){-2(x+y)z+xy}=(x-y)(xy-2yz-2xz)
>>[46]

y-2zという共通因数はありませんよ。
後ろのカッコ内はx-2zだから。
>>[47]
仰有る通り、私のミスでした。失礼しました。
久々に、因数分解についての質問の書き込みがあったなぁ〜☆
「確率」について疑問がありましたのでお聞きしたいと思います。

例題
10本のクジの中に4本の当たりクジが入っている。A,B,Cの3人がこの順にクジを引く試行において、Aだけが当たる確率を求めよ。

解答
4/10×6/9×5/8=1/6(答)

疑問
A,B,Cが引くそれぞれの試行は独立ではないのに、なぜ、かけ算で確率が求められるのでしょうか?
ちなみに、独立ではないと思う理由は、初めAが10本からクジを引いたことで、次のBの引くクジ全体が9本と変わり、Bの試行はAの試行に影響されている(無関係ではない)と思ったからです。
>>[51]
このかけ算の式は、条件付き確率の積なのかと思います。
当たりを1、外れを0として、
A,B,Cが引くくじをそれぞれ確率変数a,b,cで表すと、
例題の解答は、
P(a=1)*P(b=0|a=1)*P(c=0|a=1かつb=0)
を計算していることになりますね。

Aは当たりだという前提があるので、Bのはずれの確率が定まり、
Cのはずれの確率も前者2人の引くくじが分かっているので、確率が定まります。

なお、3人のくじの当たり外れはおっしゃる通り、独立ではありません。
その証拠に・・・(なるかな?)

Aが当たりを引いてBが外れる確率:P(b=0|a=1)=6/9
Aがはずれを引いてBが外れる確率:P(b=0|a=0)=5/9

上記2つの条件付き確率はAとBのくじ引き結果が独立ならば等しくなりますが、異なっているので独立とは言えません。
Cのくじ引き結果も同様にA,Bの結果によって条件付き確率が異なるので、独立にはなりません。(場合分けが多くなるので割愛しますが)

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