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数学コミュの「たまねぎ積分」に関するトピック

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コミュ内全体

「たまねぎ積分」とは、立体の体積を表面積の積分で求めることをいいます。
以下の書き込みから派生したトピックです。

[mixi] 今日発見したこと、知... コメント[619]
http://mixi.jp/view_bbs_comment.pl?comment_number=619&community_id=63370&bbs_id=36393648

コメント(39)

[mixi] 今日発見したこと、知... コメント[623]
http://mixi.jp/view_bbs_comment.pl?comment_number=623&community_id=63370&bbs_id=36393648

の続きです。

では別の観点から検討してみます。

> V(x)=2π(Ax^2+x^3)

立体では、体積比は相似比の3乗になります。
しかし、上の式はこの条件を満たしません。

つまり、この式は立体の体積の式ではありません。
>>[1]

関心をもっていただいて、ありがとうございます。

『立体では、体積比は相似比の3乗になります。 しかし、上の式はこの条件を満たしません。 つまり、この式は立体の体積の式ではありません。』という文章がわかりません。

この変数xが、x=2のときとx=4のときとでは、相似な円柱ではありませんから。

というか、このxのとりかたでは、xが2倍になったからといって、相似比2で拡大するわけではありません。図のxをごらんください。このxは、あくまで図のような部分の長さでして、xを増やしたら相似ではありません。このxと定数Aを用いて円柱の体積を表しただけです。ご自分でもぜひその図のAとxを用いて体積を表す式を作ってみて下さい。なるでしょ?

前のコメントにも書きましたが、 V(x)=2π(Ax^2+x^3)という式は、どんな円柱にも成り立つのではなく、あくまでも「中心に長さ2Aの芯を持ち、そこから等距離に底面、側面がある円柱の体積」ですから、拡大解釈というか、一般を考えないで下さいね。

別の言い方をすれば、縦長の円柱が目の前のある時、半径と高さを測量して体積を求めようというのではなく、その円柱の側面と中心軸との距離xを測量し、高さを測ってからそこから直径の長さを引いた数値を2Aとして、2数xとAからその円柱の体積を計算する公式です。

その〜、じつにつまらん小さいことをほじほじしているのであって、「へ〜、そんなxを採ると、ある条件(芯PQの長さが2Aという条件)を持った円柱の体積が1変数xで表せるんだ!そして、そのときは体積のxによる微分は表面積になるんだ!」というだけの話ですので。

ありがとうございます。よろしくお願いします。
図より、2A=h−2rですから、V(x)=2π(Ax^2+x^3)のAに、A=(h−2r)/2、x=rを代入すれば、V=π(r^2)hというよく見慣れた式になるのです。
すみません、もうひとつ。

V=πr^2hという式では、たとえばrを定数Rとしてhで微分しても、あるいはhを定数Hとしてrで微分しても、表面積を与える式は出現しません。

しかし、

V=2π(ar^2+r^3) という式では、aを定数Aとしてrで微分すると、表面積を表す式が出現する、というわけです。

なぜなら、この変数xなら、xをΔxだけ大きくすることにより、均一な厚さΔxの皮だけ体積が増えるのです。つまりタマネギの皮を作ることができる変数xなのです。
>>[2]

> この変数xが、x=2のときとx=4のときとでは、相似な円柱ではありませんから。

xを変えたときに相似にならないのであれば、そもそも「たまねぎ積分」が出来ません。

V(4)であれば、概念的にはxを0から4まで変えながら S(x) * dx を足し合わせます。
このときそれぞれの立体の表面が相似でなければ、立体に隙間が出来たり重複が出来たりして、
詰まった立体が構成できず結果は体積になりません。

計算結果が合っていたとしても、それは計算が合うように式を作ったに過ぎません。

おそらく「たまねぎ積分」ではなく、別の問題を解いたのだと思います。
>>[6]

わかりました。

半径:高さ=1:2の円柱を半分の高さで底面に平行に切り、そこへ任意の高さの底面のない円柱をはめ込んだのですね。
これであれば、それぞれの部分は体積と表面積が微積分の関係になるので、全体としても微積分の関係になります。

「たまねぎ積分」にxについて相似になるという条件を暗黙のうちに仮定していました。
ただこれを許すと「たまねぎ積分」可能な立体が組み合わせで増えてしまい、分類が大変になりますね。

区別するために「狭義のたまねぎ積分」、「拡大たまねぎ積分」としておきます。
>>[8]

考えていただいて、どうもありがとうございます。

「半径:高さ=1:2の円柱を半分の高さで底面に平行に切り、そこへ任意の高さの底面のない円柱をはめ込んだのですね。 」ええそうです、はじめはこの文がよく解らなくて困っていましたが、いまひらめきました。形はそのとおりです!(はめ込んだ円柱(側面のみ)の高さにあたる量を2Aとしました。)ただ、このような(図参照)理解でよいとすると、変数や円柱の変形がわからないです。微分するには「変化」が必要です。

結果的に同じ円柱になりますが、考え方は大いに違っています。具体的なある円柱があって、それを同じ厚さΔxだけ削るというふうに考えたのです。削ってできた円柱形をした薄皮でできたものがタマネギの皮です。Δxずつ削ることを続けると、縦長の円柱の場合は垂直な線分PQが残ったところで終わるし、横長の円柱だと水平な円盤ができたところで終わる(体積が0)のです。

その操作を逆にして、線分PQからスタートしてΔxの薄皮(タマネギの皮=面積2πx^2+2πx(2A+2x)=2π(2Ax+3x^2)で厚さΔx)を次々に足していけばこれが積分で、その結果体積になります。

∫(x=0 to r)2π(2Ax+3x^2)dx=2π(Ar^2+r^3) ←体積

「これであれば、それぞれの部分は体積と表面積が微積分の関係になるので、…」微分とか言う議論をするには、変数を1個決めないと。kazuさんはなにを変数xとしているのでしょうか?それぞれの部分って、xが変化するとどう変わるのでしょうか?すみませんが、この1文は承伏いたしかねます。

「V(4)であれば、概念的にはxを0から4まで変えながら S(x) * dx を足し合わせます。
このときそれぞれの立体の表面が相似でなければ、立体に隙間が出来たり重複が出来たりして、
詰まった立体が構成できず結果は体積になりません。 」というのは、撤回していただけるでしょうか?
タマネギの皮はすきまなく、重複もせずに重なって、全体で円柱を形作ります。

「タマネギ積分」というのは正式名称ではありませんよね。どこかでどなたかがお使いになっているのでしょうか?定義は?「バームクーヘン積分」というのは一般に知られていて、回転体の体積を出す時に威力を発揮しますが、こいつは別に「体積を微分したら表面積になる」というような議論とは無縁か、とも思います。「タマネギ積分」は、「立体を同じ厚さで皮をむいていって、最後に体積が0になるようにできるなら、皮の面積×(かける)Δxを集めると(積分すると)体積になりますよ。そうやって求めた体積を微分すると表面積になりますよ」ということがいえる考え方でしょうか。あるいはそういう変数(あるいは量)xをとることができる、ということでしょうか。

「狭義のたまねぎ積分」、「拡大たまねぎ積分」の意味がよくわかりません。ご面倒でなければ、kazuさんの考える定義を教えてください。


ありがとうございました。
>>[9]
>kazuさん

元はと言えば、私が提案したおはなしの一部を広げて下さり、トピたてまでしていただきありがとうございます。
トピ移動があったこと知らず通知に入っていなかったので、見逃してしまっておりました。
申し訳ありません。

>「タマネギ積分」というのは正式名称ではありませんよね。どこかでどなたかがお使いになっているのでしょうか?定義は?

一応、高校レベルのトピで紹介したホームページに、分かりやすい表現型として玉ねぎ積分という言い方になって居ましたね。
そちらの方が、一般の区分求積法レベルの高校数学範疇と区別するには良いかと思いました。
(遣り取りをするにも、そちらの方が伝わりやすいと思ったからです。)

原義に帰るのは正しいことですね。
掲載しておきます。
面積分やルーベルグ積分と呼ばれる手法の一部です。
最も、応用範囲は表面積と体積の関係ではなくて、電磁気の磁束の話だったりするので、
あまりこの分野での馴染みはないもので、長くなりますので、紹介だけで割愛します。

>ルベーグ積分
http://watanabeckeiich.hatenablog.com/entry/2016/10/08/214834
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E7%A9%8D%E5%88%86

>面積分
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E5%88%86
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/SurfaceIntegral/


>>[9]

「たまねぎ積分」は造語の意味でカギ括弧を付けています。
おそらく正式な定義はないか、あっても別の名前がついているのだろうと思います。

ブログ等でも散見されますので、みなさん表面積と体積が微分積分の関係になるという意味で使われていると思います。

「狭義のたまねぎ積分」は積分する表面の形が相似になる条件を満たすもの、
「拡大たまねぎ積分は、相似という条件を外したもの、と区別をするために仮に名前をつけました。
>>[17]

わかりやすい図で、ありがとうございます。
皮が相似かどうか、で分けるのですね。
意味は解りましたが、なぜその2つを分けて考えるのかがイマイチ??です。皮が相似かどうかで、どんな点が異なるのですか?すみません、教えていただければうれしいです。

狭義のタマネギ積分ができるのは、球と正多面体以外に、どんなのがあるのでしょうか?準正多面体なんかも大丈夫かな?

(こういうきれいな図や数式はどんなソフトで書くのですか?)
>>[18]

なぜ分けるかですが、理由は相似の方が対称性があり美しいと感じるからです。
もちろん相似の方が、表面積の比が相似比の2乗になる等の数学的に成り立つ性質も多いです。

現在わかっている狭義のたまねぎ積分が出来る立体は、

・球
・円錐
・半径:高さ=1:2の円柱
・内接球を持つ多面体(正多面体はこれに含まれる)
・全ての面が内接球に接する平面、内接円に線で接する円柱面や錐面で構成された立体

こんなところです。

図はMicrosoftのパワーポイントで書いています。
簡単な図と数式を書く機能を持っています。
>>[19]
> ・全ての面が内接球に接する平面、内接円に線で接する円柱面や錐面で構成された立体

・全ての面が内接球に接する平面、内接球に線で接する円柱面や錐面で構成された立体

訂正します。
内接円ではなく、内接球です。
>>[18]
>準正多面体なんかも大丈夫かな?

半正多面体は、同心の内接球を持ちませんので不可です。
http://d.hatena.ne.jp/Polyhedron/20100513/1273759851

半正多面体のそれぞれの面の形(正n角形)によっても、n角錐の中心までの高さがそれぞれ違うので、一般化はできません。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E6%AD%A3%E5%A4%9A%E9%9D%A2%E4%BD%93

双対多面体の体積との比もやはり辺長との対比で出ていて、それは微積関係ではなくなっています。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E5%A4%9A%E9%9D%A2%E4%BD%93


斜方立方八面体
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E6%96%B9%E7%AB%8B%E6%96%B9%E5%85%AB%E9%9D%A2%E4%BD%93
一辺を aとすると
>表面積: S = ( 18 + 2 √3 ) a^2
>体積: V = (12 + 10 √2 ) a^3 / 3
aで微分してももちろん表面積にはなりません。
みなさま、ありがとうございました。

dV/dx=Sに関して「狭義の」タマネギ積分(皮が相似)でできるには、「内接球が存在する」ことが必要だということはわかりました。その半径xを唯一の変数として、他に形状特有の定数を用いれば、dV/dx=Sが成り立ちますね。当然ですよね。しかし…

あまり意味もないし、数学的には美しくはないかもしれないけれど、内接球を持たない立体もdV/dx=Sを満たすような変数が採れる、という例ではじめたお話しでした。

たとえばcadさんの「同心の内接球を持ちませんので不可です。」というのはあくまでも「狭義の」タマネギ積分はできません、ということです。しかし、「広義の」タマネギ積分や、もっと別な方法を用いたらdV/dx=Sが成り立つような変数の取り方があるかもしれません。事実、内接球を持たない円柱でも、dV/dx=Sを満たす変数xが採れました。どうやら同じような方法で、内接球がない円錐台も、一般の直方体ですら、1変数と、形状を表す2定数を用いれば、広義のタマネギ積分の考えでdV/dx=Sを満たす堆積、面積の公式が作れます。

これから、他の立体でもそういうことができないか、という話題をお聞かせいただけたら幸いです。「広義のタマネギ積分法」でもいいし、工夫を自慢し合う、というと語弊がありますが、既存の理屈にとらわれずにやってみたらこうなった、というような話もおもしろいのでは、とも思います。

私のスタートはあくまで、dV/dx=Sでして、タマネギ積分でなくてもいいのです。

それから、立体を変化させる(膨張・縮小)時に、相似を保って変化するのは美しいとは思いますが、「全方向に等厚で増減する」という変化だって、まんざらじゃない、これだって美しい、とも思えるのです。

まるで役に立たない独り言です。ありがとうございました。
>>[22]
申し訳ありません。
私のコメントは取り付く島もなかったでしょうか。
ガッカリさせてしまったようなら申し訳ありません。

元々、球体積と立方体体積のそれぞれ表面積との微積の関係が成り立つという話からでしたが、
他の立体では立方体ほど感動するような関係は作れないのではないかと思います。

基本的に同体積上の表面積はいくらでも増やせると考えられています。
私たち人体の肺胞も表面積を増やすために表面に無数のヒダをつくることで嵩を増やしています。
(いわゆるフラクタルのようなものです。)

有限体積で無限の表面積を持つ、ガブリエルのラッパ、トリチェリのトランペットと呼ばれる形状も確認されています。体積と表面積が綺麗に微積の関係になる立体は自然界では限られると考えられます。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%96%E3%83%AA%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%A9%E3%83%83%E3%83%91

一つの設問に対して、三者三様の興味の矛先があり、くさぼうぼうさんはより広義な一般化にご興味がおアリで、私はそれに対して全否定までもしては居ませんが、一般化出来るとしたら、かなり限られた条件付が必要となるように感じていて、より条件付の方に興味があるといった具合です。

ご自身のお知りになりたいことと、他者がお答えになることに溝があるのは、そういった異なり方があるためだと感じています。悪しからず…。

(くさぼうぼうさんが、広義のたまねぎ積分で求められたいAという存在が何かというと、断言はできませんが、高さhとrの和や差と言及されているように、側面式+上底面式を共通因数でくくった時に出来る比率の話に結局は帰結してしまう問題なのかなと感じています。それは形状によってケースバイケースですので、立方体の時のような綺麗な式にはなりづらいのではないでしょうか?)
>>[18]
>こういうきれいな図や数式はどんなソフトで書くのですか?

代わりと言ってはなんですが、
幾何図形を書くソフトの一つのご紹介。
ご存知かもしれませんが。

http://tambara.ms.u-tokyo.ac.jp/menseki_r3.pdf
P.45
>GeoGebra による演習
GeoGebra は,幾何,代数,解析を結びつけた動的な教育機関向け数学ソフトウェア
である.まず,ブラウザ(インターネット・エクスプローラ)で,GeoGebra を検索し, http://www.geogebra.org/cms/index.php?lang=ja
の[ウェブスタート],[Webstart]をクリックし,[プログラムで開く]とする.これ で,GeoGebra が起動される.<

GeoGebraのホームページの投稿には、
球積率の問題として載っています。
図参照

http://homepage3.nifty.com/ayumi_ho/kyuu1.htm
>球と立方体の体積


>>[23]

あ、いえ、がっかりなんかしていませんから、お気遣いなく。
興味の矛先は人それぞれですし、今回の私の方向はあまり美しい世界ではなかったようです。
どちらかというと、「無理矢理」ともとられますね。
でも、反応してくださった方々には、感謝です。

数学は「自由」でいいなぁ!

アメリカのトラなんとかってやつは、自由というものをどう考えているか不安です。
>>[24]
横槍すいませんが、
一番最後のリンク先が
>@homepageは2016年11月10日(木)15時をもちましてサービス提供を終了させていただいたため、ホームページの表示ができません。
と出て拝見できませんでした。何かのエラーでしょうか?
すみません、こちらのコメントがあまりきちんとフォローできているわけではないので、
もしかしたら既にどなたか書かれていることと重複してしまっているかもしれませんが、
ちょっと考えてみました。

ここでは、直方体について考えます。

直方体の縦(奥行き)、横(幅)、高さがそれぞれ2ar、2br、2rとします。
これは、rの変化によって相似な直方体を作れるのと、aやbを調整することにより任意の直方体が作れます(これは、縦、横、高さの比率が1:1:1のもの(これだと立方体ですが)のものや1:2:3のものを作れるという意味において)。
aやbを一定にして(つまり定数として)、rを変化させて相似変形させることを考えます。

上記のような直方体について、表面積S、体積Vは以下のように表されます。
(以下、途中経過等ははしょって書きます)

S=8r^2*(a+b+ab)
V=8abr^3

まず、形式的な話として読んでいただきたいのですが、

上記のSやVの式をrの関数とみなしたときにVの式がSの式をrで積分したものと同じ、Sの式がVの式をrで微分したものと同じになるのは、aとbが以下の関係になっているときであることがわかります。

b=a/(2a-1)

例:
1) a=1、b=1のとき、aとbは上記条件を満足して、S=24r^2、V=8r^3
2) a=2、b=2/3のとき、aとbは上記条件を満足して、S=32r^2、V=32r^3/3

さて、ここまでの操作に何か意味があるのかというところですが、

上記でrをrからΔrだけ変化させて直方体の殻を作って、その殻をたまねぎのように重ね合わせてもとの直方体の領域を充填させることを考えます。
その殻の厚みは各面で以下のようになります。

a) 縦2ar、横2brの面については、Δrの厚み。
b) 横2br、高さ2rの面については、a*Δrの厚み(厚みの変化は縦2aの変の軸の方向の変化なので、相似変形させた場合高さの変化に対してa倍の変化になる)。
c) 縦2ar、高さ2rの面については、b*Δrの厚み(厚みの変化は横2bの変の軸の方向の変化なので、相似変形させた場合高さの変化に対してb倍の変化になる)。

このように、立方体であれば、相似変形でrをΔrだけ変化させたときの厚みの変化はどの面も同じですが
直方体の場合は面によってその変化の比率が異なります。
この、rをΔrだけ変化させたときの各面の厚みの変化の比率と、各面の間の面積比を考慮して、例えば上記のaとbの間の関係式が成り立つような直方体の場合に、うまいこと表面積と体積の式が微積の関係になるのかなあ…、などと思いました。

aとbが上記の関係式に会わない場合にただrを使って相似変形させた場合は、
rを変化させてももとの直方体うちの領域をうまく充填できないというか隙間ができるというか濃度のむらというか薄かったり濃かったり、ということで、rについて書かれた表面積の式を単純にrで積分しても実際の体積とは一致しない、
ということかと思いました。

こういう見方をすると、円筒の場合でも半径か高さかどれかのパラメータを使って相似変形させる場合に表面積と体積の式が微積の関係になるような条件を見つけられそうな気がしてきました。
っていうか、どなたか既にやってらっしゃいますかね?
>>[28]

「今日発見した…」トピの、619,620からはじまっていますので、そちらからお読み下さいね。

http://mixi.jp/view_bbs.pl?comm_id=63370&comment_id=1469503482&page=32&id=36393648#comment_id_1469503482

多面体で書きますが…(曲面でも同様です)相似の中心を立体の内部にとって相似の中心から各面までの距離をh(i)とします(iは面の番号)。立体をちょこっとだけ相似拡大した時、拡大した部分の厚みはh(i)により異なります。h(i)が大きければ厚みも大きいです。ですから拡大してできた「タマネギの皮」の厚さは一様ではなく、何を変数xに採っても、そのxで表されたV(x)とS(x)はdV/dx=Sを満たさないでしょう。相似拡大でしかも皮の厚さが同じになるためには、すべてのh(i)が同じ、すなわち立体が内接球を持つ時に限ります。一般には円柱は内接球を持ちませんから、どうがんばって相似の中心を決めても、あるいはどう変数xを採っても円柱で相似を保った拡大法ではdV/dx=Sは成り立たせることはできないと思いますが、いかがでしょうか。
(美しくないかもしれませんが)相似拡大をあきらめれば、円柱に関しては{今日発見した…」トピの620に書いたようにdV/dx=Sを成り立たせるようなxがとれます。

直方体に関しては、2定数A,B(A,B≧0)を定めて、「たて2A,横2Bの長方形」(等号が1つ成立する時は線分、2つとも成立する時は1点)を芯にして、バウムクーヘンあるいはタマネギの皮を直方体を形成するように同じ厚さで成長させる。(その長方形は、別の観点では、すでにある直方体から同じ厚さの皮を剥いでいった時に残る長方形と考えてもいいですが。)そのとき、もっとも短い辺(芯になる長方形に垂直な方向の辺)を2xとすると、他の2辺は2(x+A),2(x+B)となる。

V(x)=2x・2(x+A)・2(x+B)=8x^3+8(A+B)x^2+8ABx

S(x)=2{2x・2(x+A)+2x・2(x+B)+2(x+A)・2(x+B)}
   =24x^2+16(A+B)x+8AB

よって、dV/dx=S !!

これは、xをx+Δxにしたとき、相似拡大ではありません。あしからず。
(円柱でやった工夫と同じです)
具体的な意味は、3辺をa,b,c(a≧b≧c>0)とすると、2A=a−c、2B=b−cということです。
a−c、b−cが固定された直方体の集合の中での微分積分とでもいいましょうか。



>>[30]

ありがとうございます。

この直方体の例ですが、縦の長さを2(x+A)、横の長さを2(x+B)、高さを2xとしているようですね。
これはx=0とすると縦が2A、横が2B、高さが0となるので、
xを0からXまで変化させると、
縦2A、横2Bの長方形の紙っぺらから出発して、
これを厚み(高さ)を変化させていって、その厚みの分だけ縦の長さと横の長さを足していくという変形の仕方でしょうか。
(厚みを2Δxだけ増やすと縦の長さ、横の長さも2Δxだけ増える)

これは、縦、横、高さの変化はどれも同じだけ(2Δx)の変化の仕方になって、
2Aや2Bは縦の長さ、横の長さの初期値というか初期条件というかそういったものということでしょうか。

このやり方でxを0からXまで変化させて縦2(X+A)、横2(X+B)、高さ2Xの直方体の領域を充填させると考えると、
出発点になっている縦2A、横2Bの紙っぺらの部分が空洞になりそうなというか充填されないというか、その部分の分だけ体積が足りなくなる気もしなくもないですが、
紙っぺらで厚みがほとんどないから無視できるというかそういうことなんですかね。

もうちょっと考えてみます。
>>[31]

ありがとうございます。
私の意図はまったくそのとおりです。円柱の場合も同じです。

スタート(タマネギあるいはバームクーヘンの芯)の長方形(円柱の場合は円盤)は厚さ0ですから体積には影響ないです。
>>[29]

円筒を相似変形させる場合について考えてみました。
([28]でやったのと同じアプローチをとってみます)

円筒の底面の円の直径を2x、円筒の高さを2axと考えます。

aを調整することにより、円筒の底面の円の直径と円筒の高さの比率が任意の円筒を作ることができます。
xを変化させることにより、この直径と高さの比率を保ったまま円筒を相似変形させることができます。

このとき、この円筒の表面積Sと体積Vは以下のように書くことができます。
(途中結果ははしょって、結果だけ書きます)

S=2πx^2*(1+2a)
V=2πax^3

このとき、SやVをxの関数とみなしてSがVをxで微分した式と同じ、VがSをxで積分した式と同じになるには、この2つの式を比較して、aが以下の条件を満足している必要があります。

1+2a=3a

これを整理すると

a=1

となり、相似変形のやり方でsとVが微積の関係になるのは円筒では直径と高さの比率が1:1、半径と高さの比率でいえば1:2のときだけ、ということになりますね。

(既に同じ導出をどこかで書かれているようでしたら、すみません)

立方体を含めた直方体の場合は、[28]でやったやり方によれば、相似変形のやり方でSやVの式を作ったときにこれらが微積の関係になるのは立方体に限るわけではなさそうです。
(縦、横、高さについてある条件にしたがった比率をとれば微積の関係になりそうです)
[33]のつづきをさらに考えてみたのですが、
[33]で計算したSとVの式について無理やり微積の関係式を作ると、少なくとも形式的には以下のようになりますね。

dV(x)/dx=6πax^2=3a/(1+2a)*S(x)
∫S(x)dx=2/3*πx^3*(1+2a)=(1+2a)/3a*V(x)

S(x)=(1+2a)/3a*(dV(x)/dx)
V(x)=3a/(1+2a)*∫S(x)dx

この右辺に出てくる係数を解釈するとしたら、
円筒の半径の長さを調整して相似変形させたときの半径の増減に対する底面/側面の面積/厚みの増減の比率の補正ということになるんでしょうかねえ…。

まあ、この形式的な式変形がそもそも妥当なのかというか正しいのかということからして検証する必要があるかもしれませんが。

(ちなみに、a=1とすると、Vの式がSの式をxで積分した式、Sの式がVの式をxで微分した式という形に帰着します)
すみません、[28]、[33]、[34]で、
「円筒」→「円柱」です。
念のため…。
dV/dx=Sを求めて、もうすこしやります。



トーラスでも dV/dx=S とすることは可能です。

公式を出すのは、パップス・ギュルダンの定理を使ってしまいますが…

一般のトーラスは元の円の半径rと回転する半径Rで決まります。

V=πr^2・2πR=2π^2Rr^2
S=2πr・2πR=4π^2Rr



2変数では無理ですから、Rを定数にして元の円の半径をxとすれば、
変域は0<x≦Rで、

V(x)=πx^2・2πR=2π^2Rx^2
S(x)=2πx・2πR=4π^2Rx

よって、dV/dx=S わーい(嬉しい顔)指でOK




こんどはrを定数としてRを変数xに採ると、
変域はr≦xで、

V(x)=πr^2・2πx=2π^2r^2・x  xの
S(x)=2πr・2πx=4π^2rx

よって dV/dx≠S 泣き顔バッド(下向き矢印)


rをΔrだけ変化させる時はどこも同じ厚さの皮ができますから、これもタマネギ積分(ただし広義の)といってもいいのでしょう。(こんな形のタマネギはありませんが…あせあせ

しかし、RをΔRだけ変化させる時はそうはいかないようですね。
>>[24]

GeoGebraの紹介ありがとうございます。
素晴らしいソフトウェアですね。
これで立体図形を書くのが楽になります。
>>[36]

以下、直感的なイメージだけで書きます。

前半の話は、針金かなんかで半径Rの輪を作って、その針金の太さを半径rまで膨らませるというイメージでしょうか。
そうであれば、たまねぎ積分できるのもなんとなくわかる気がします。

後半の話は、rを固定してRを変化させるというのは、
へりが丸いというか円状になっている五円玉を作るイメージでしょうか。
そうだとすると、Rの方を変化させてこの五円玉のような図形を作った場合、五円玉の丸いというか円状のへりの部分と五円玉の真ん中(というか外側のへりと内側のへりの部分の間の部分というか)では濃度が異なっているように思われます。
(へりの部分のほうが濃度が薄いといいますか)
そうすると、たまねぎ積分にならないのも理解できる気がします。
>>[37]
お役に立てて何よりです。

すいません、
娘が具合悪くしており、
返信が遅れてしまっておりました。

GeoGebraは他者が作った[教材]も公開されており、
簡単な幾何学なら再利用可能ですので時間を省くことが出来るかと思います。
ソフト使い方を覚える手間はかかりますが、慣れると楽ですね。


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mixiユーザー
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