「かけ算の意識調査」にコメントをして欲しいと思います。
こちらより
http://
きちんと算数・数学として話をしたいため、「かけ算の意識調査」をした方がコメントして欲しいと思います。
それは、その方にとっては、どんな考え方が正しいのか確認したいからです。
以前の削除したトピックの「数学者は代数学で考えていない！？」の意見を聞いたところ。
話を丁寧に聞いてみると、若干の相違を感じました。
「かけ算の意識調査」にコメントをしない方に対してはスルーしてください。
これを、このトピックのルールにします。
「文章問題の解き方」
http://
色々な解き方があると思います。
＜注意点＞
このトピックを削除する場合は、あらかじめ予告して削除をします。
このトピックを商用目的（金銭などの利害関係）で使用しないでください。
ルールに反する方がいれば、「かけ算の意識調査」、「文章問題の解き方」、
「かけ算の意識調査より『かけ算の語り場』」を削除します。
こちらより
http://
きちんと算数・数学として話をしたいため、「かけ算の意識調査」をした方がコメントして欲しいと思います。
それは、その方にとっては、どんな考え方が正しいのか確認したいからです。
以前の削除したトピックの「数学者は代数学で考えていない！？」の意見を聞いたところ。
話を丁寧に聞いてみると、若干の相違を感じました。
「かけ算の意識調査」にコメントをしない方に対してはスルーしてください。
これを、このトピックのルールにします。
「文章問題の解き方」
http://
色々な解き方があると思います。
＜注意点＞
このトピックを削除する場合は、あらかじめ予告して削除をします。
このトピックを商用目的（金銭などの利害関係）で使用しないでください。
ルールに反する方がいれば、「かけ算の意識調査」、「文章問題の解き方」、
「かけ算の意識調査より『かけ算の語り場』」を削除します。
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コメント(148)
>105
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
少し大袈裟な表現ですが、小２のかけ算において
定義：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（全部の量）
定理：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（いくつ分）×（１つ当たり）＝（全部の量）
が現行の教科書での取り扱い方だと思います。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
確かに大げさですが（苦笑），現行の問題は，教科書や小学校で，
（１つ当たり）×（いくつ分）＝（いくつ分）×（１つ当たり）
が教えられておらず，（いくつ分）×（１つ当たり）の書き方が認められていないことです。
現状の問題を勘違いされていないでしょうか？
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
少し大袈裟な表現ですが、小２のかけ算において
定義：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（全部の量）
定理：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（いくつ分）×（１つ当たり）＝（全部の量）
が現行の教科書での取り扱い方だと思います。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
確かに大げさですが（苦笑），現行の問題は，教科書や小学校で，
（１つ当たり）×（いくつ分）＝（いくつ分）×（１つ当たり）
が教えられておらず，（いくつ分）×（１つ当たり）の書き方が認められていないことです。
現状の問題を勘違いされていないでしょうか？
> 87,108
＝＝＝＝＝＝＝（87引用初め）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
> つまり，x × y は，除法なんですか？
（略）
形式的には、実数体の除法です。
x ÷ (1 ÷ y) = x × y
（略）
実数体だと、形式的には「×」を除法と言えます。
＝＝＝＝＝＝＝（87引用終り）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＝＝＝＝＝＝＝（108引用初め）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
相手の発言を元の文脈を無視して引用し、本来の意味とは異なる印象を与えるよう提示することをクオート・マイニングと呼ぶが、クオート・マイニングに基づいて批判すればこれもストローマンの一種である。
私の実数体の除法（わり算）とは、まさにストローマンです。
＝＝＝＝＝＝＝−（108引用終り）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
「私の実数体の除法（わり算）とは、まさにストローマンです。」という発言を読んで，ようやくLogicalInSpace さんもご自分が，
「除法（わり算）という用語を数学の文脈を無視して使用し，本来の意味とは異なる印象を与えて提示していること」を認められたのかと思いましたが，そうではなく，LogicalInSpace さんの「実数体の除法（わり算）」を，私たちが誤解して批判しているということを，この文では言いいたいわけですね。
＝＝＝＝＝＝＝（87引用初め）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
> つまり，x × y は，除法なんですか？
（略）
形式的には、実数体の除法です。
x ÷ (1 ÷ y) = x × y
（略）
実数体だと、形式的には「×」を除法と言えます。
＝＝＝＝＝＝＝（87引用終り）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＝＝＝＝＝＝＝（108引用初め）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
相手の発言を元の文脈を無視して引用し、本来の意味とは異なる印象を与えるよう提示することをクオート・マイニングと呼ぶが、クオート・マイニングに基づいて批判すればこれもストローマンの一種である。
私の実数体の除法（わり算）とは、まさにストローマンです。
＝＝＝＝＝＝＝−（108引用終り）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
「私の実数体の除法（わり算）とは、まさにストローマンです。」という発言を読んで，ようやくLogicalInSpace さんもご自分が，
「除法（わり算）という用語を数学の文脈を無視して使用し，本来の意味とは異なる印象を与えて提示していること」を認められたのかと思いましたが，そうではなく，LogicalInSpace さんの「実数体の除法（わり算）」を，私たちが誤解して批判しているということを，この文では言いいたいわけですね。
> 112 Pawnさん
> 相手の発言を元の文脈を無視して引用し、本来の意味とは異なる印象を与えるよう提示することをクオート・マイニングと呼ぶが、
> クオート・マイニングに基づいて批判すればこれもストローマンの一種である。
> 私の実数体の除法（わり算）とは、まさにストローマンです。
＜相手の発言とは＞
相手の発言とは、かけ算の交換法則の「＝」の部分です。
『かけ算の交換法則の「＝」』を引用しています。
しかし、「＝」の解釈は、「式は区別して、値は同じこと」または「式と値は同じこと」は、皆さんがどのように捉えているのか分かりません。
＜わり算（除法）＞
本来の意味とは異なる印象を与えることとは。
高校までのわり算（除法）があります。 算数のわり算（除法）です。
大学で学習する代数系の代数学では、記号として「x・y^(-1) ≡ x ÷ y」として除法（わり算）として定義が出来ます。
算数の「x ÷ y」と、代数学の「x・y^(-1)」において。
高校までしか学習していない方は、「x ÷ y」が、算数・数学のわり算（除法）です。
大学で、代数学を学んだ方は、「x・y^(-1) ≡ x ÷ y」が数学の除法（わり算）です。
高校までしか学習していない方は、異なる印象を与えていると思います。
bricoleur@影法師さんは、代数学（正確には体論）を学んでいるので、きちんと分かってコメントをしています。
高校までしか学習していない方に対しては、『私の実数体の除法（わり算）とは、まさにストローマンです。』だと思います。
> 相手の発言を元の文脈を無視して引用し、本来の意味とは異なる印象を与えるよう提示することをクオート・マイニングと呼ぶが、
> クオート・マイニングに基づいて批判すればこれもストローマンの一種である。
> 私の実数体の除法（わり算）とは、まさにストローマンです。
＜相手の発言とは＞
相手の発言とは、かけ算の交換法則の「＝」の部分です。
『かけ算の交換法則の「＝」』を引用しています。
しかし、「＝」の解釈は、「式は区別して、値は同じこと」または「式と値は同じこと」は、皆さんがどのように捉えているのか分かりません。
＜わり算（除法）＞
本来の意味とは異なる印象を与えることとは。
高校までのわり算（除法）があります。 算数のわり算（除法）です。
大学で学習する代数系の代数学では、記号として「x・y^(-1) ≡ x ÷ y」として除法（わり算）として定義が出来ます。
算数の「x ÷ y」と、代数学の「x・y^(-1)」において。
高校までしか学習していない方は、「x ÷ y」が、算数・数学のわり算（除法）です。
大学で、代数学を学んだ方は、「x・y^(-1) ≡ x ÷ y」が数学の除法（わり算）です。
高校までしか学習していない方は、異なる印象を与えていると思います。
bricoleur@影法師さんは、代数学（正確には体論）を学んでいるので、きちんと分かってコメントをしています。
高校までしか学習していない方に対しては、『私の実数体の除法（わり算）とは、まさにストローマンです。』だと思います。
> 110 メタメタさん
>（１つ当たり）×（いくつ分）＝（いくつ分）×（１つ当たり）
> が教えられておらず，（いくつ分）×（１つ当たり）の書き方が認められていないことです。
＜かけ算の交換法則＞
（かけられる数）×（かける数）の小２のかけ算の教科書の最後に、
『（かけられる数）と（かける数）を入れかえても、同じ値になります。』（教科書の正確な文言は忘れました。）
と書かれてあったと思います。
私の独自の表現かもしれませんが、これを「小２のかけ算の交換法則」と呼びたいと思います。
> 書き方が認められていない
「認めれている」、「認められていない」が適切な表現なのかは分かりませんけど。
「（いくつ分）×（１つ当たり）」とは小２の教科書には書かれていないと認識しています。
「小２のかけ算の交換法則」は最後の方に書かれてあるので、
（１つ当たり）×（いくつ分）＝（いくつ分）×（１つ当たり）＝（全部の量）
とわざわざ書いていないと思います。
＜少し大袈裟ですが定義と定理＞
定義：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（全部の量）
定理：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（いくつ分）×（１つ当たり）＝（全部の量）
「小２のかけ算の交換法則」を学ぶ前は、この定義どおり書くことを生徒に指導していると思います。
「小２のかけ算の交換法則」を学んだ後は、この定理を用いてよいと思います。
私は、小２の教科書は、そういう認識です。
>（１つ当たり）×（いくつ分）＝（いくつ分）×（１つ当たり）
> が教えられておらず，（いくつ分）×（１つ当たり）の書き方が認められていないことです。
＜かけ算の交換法則＞
（かけられる数）×（かける数）の小２のかけ算の教科書の最後に、
『（かけられる数）と（かける数）を入れかえても、同じ値になります。』（教科書の正確な文言は忘れました。）
と書かれてあったと思います。
私の独自の表現かもしれませんが、これを「小２のかけ算の交換法則」と呼びたいと思います。
> 書き方が認められていない
「認めれている」、「認められていない」が適切な表現なのかは分かりませんけど。
「（いくつ分）×（１つ当たり）」とは小２の教科書には書かれていないと認識しています。
「小２のかけ算の交換法則」は最後の方に書かれてあるので、
（１つ当たり）×（いくつ分）＝（いくつ分）×（１つ当たり）＝（全部の量）
とわざわざ書いていないと思います。
＜少し大袈裟ですが定義と定理＞
定義：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（全部の量）
定理：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（いくつ分）×（１つ当たり）＝（全部の量）
「小２のかけ算の交換法則」を学ぶ前は、この定義どおり書くことを生徒に指導していると思います。
「小２のかけ算の交換法則」を学んだ後は、この定理を用いてよいと思います。
私は、小２の教科書は、そういう認識です。
> 111 メタメタさん
>「私の実数体の除法（わり算）とは、まさにストローマンです。」という発言を読んで，
> ようやくLogicalInSpace さんもご自分が，
>「除法（わり算）という用語を数学の文脈を無視して使用し，本来の意味とは異なる印象を与えて提示していること」
> を認められたのかと思いましたが，
> そうではなく，LogicalInSpace さんの「実数体の除法（わり算）」を，
> 私たちが誤解して批判しているということを，この文では言いいたいわけですね。
メタメタさんに確認をしないと、はっきりと断言は出来ませんが。
高校までのわり算（除法）として捉えると、誤解すると思います。
>「私の実数体の除法（わり算）とは、まさにストローマンです。」という発言を読んで，
> ようやくLogicalInSpace さんもご自分が，
>「除法（わり算）という用語を数学の文脈を無視して使用し，本来の意味とは異なる印象を与えて提示していること」
> を認められたのかと思いましたが，
> そうではなく，LogicalInSpace さんの「実数体の除法（わり算）」を，
> 私たちが誤解して批判しているということを，この文では言いいたいわけですね。
メタメタさんに確認をしないと、はっきりと断言は出来ませんが。
高校までのわり算（除法）として捉えると、誤解すると思います。
> 高校までしか学習していない方は、異なる印象を与えていると思います。
> bricoleur@影法師さんは、代数学（正確には体論）を学んでいるので、きちんと分かってコメントをしています。
私が言うべきことでもないかもしれないが、こういうのはもうおやめになったら如何ですか？
貴殿も微小回転理解してなかったでしょう。
前述の通り、量子論だと微小量の２次まで考慮して交換関係を導くというのがよく知られているところ。
貴殿はおそらくこの話を何処かで聞いて微小回転は非可換と発言されたのでしょう。
ブリコルールさんに１次まで考えて可換という話題を出されて、この件は間違ったがわり算に順序はない云々は嘘ではないと態度を変えられた。
私が量子論の話題を出すまで気付かなかった。
そうではありませんか？
> bricoleur@影法師さんは、代数学（正確には体論）を学んでいるので、きちんと分かってコメントをしています。
私が言うべきことでもないかもしれないが、こういうのはもうおやめになったら如何ですか？
貴殿も微小回転理解してなかったでしょう。
前述の通り、量子論だと微小量の２次まで考慮して交換関係を導くというのがよく知られているところ。
貴殿はおそらくこの話を何処かで聞いて微小回転は非可換と発言されたのでしょう。
ブリコルールさんに１次まで考えて可換という話題を出されて、この件は間違ったがわり算に順序はない云々は嘘ではないと態度を変えられた。
私が量子論の話題を出すまで気付かなかった。
そうではありませんか？
私は、必要な知識は自己完結的に記述して、できるだけブラックボックスがない方が良いと思いますので、
誰かが批判したことをその人自身がやっているからその批判はおかしいという立場ではなく、
立場は関係なく、誰が見ても可能な限りわかるものが良いと考えます。
なぜなら、これらのやりとりが変形されて子供の目に触れたときにも「ちゃんと読める」ことが望ましいからです。その点を考えると「なぜそのように考える必要があったのか」をその考え方を解せない人に理解してもらう書き方が多分最良だろうと思います。
代数学の教科書を引用するよりも、代数学の教科書に書いてあることを
「私ならこういう解釈「も」できる。こういう解釈をするとこういうメリットがあるがこういうデメリットがある」
という分析が多分役に立つでしょう。
知識のひけらかし合戦を仕掛けてきた方はコンピュータ音痴だなんだでレッテル貼りを始めたので
こういうのも議論の席に座る気がない人として、私は色々悩みましたが（それでも議論が足りないという考えの人もいるかもしれませんが）堪忍袋の緒が切れましたので、そいつには何か特別なことが起きない限りはまともな対応はしません。
私はメタメタさんの批判対象が私と多分同じであろうということは大分前に理解しましたので
そこでの争いはないものと思っています。
メタメタさんを批判するとしたら、私が掛け算について考えて機械を持ち出したときにそれが
子供と同じだという結論をしていないのにそういう結論をしたと藁人形をされたことぐらいです。
式の意味というものを別の表現で記述できないかと考えた結果です。
もちろん、意味など考えないという考え方もありますけれども、
それは各自の自由ですね。
ある物を色んな視野から見て、色んな見え方がするので、
教師が「一つの見え方」を提示してから、「別の見え方」も提示する
という全体の流れを見て「結局色んな見え方を提示している」のであれば良いと思いますし、
教師が「この見え方以外ない」と言ったらそれは「色んな見方がある」ことと相反するので間違いです。
また教師が「一つの見え方」のみを教えてそのままもダメですね。
「この見え方の方が美しい」ということは「色んな見方がある」こととは独立です。
ですから、「式の意味を考える」「式の意味を無視し値のみに注目する」は相反する前提ではありますが、どちらの見方もあるというのが、採点で×にした教師への論点になりませんか。
猫さんとのやりとりで彼はそういう考えを実例を色々出してくれました。
数学上の話題で。
上の方ではったリンクのスレッドの後ろの方にあります。
できればLogicalInSpaceさんには是非見てもらいたいですし、
猫さんとも交流してみていただきたい。彼は真剣な人には真剣に応えてくれます。
誰かが批判したことをその人自身がやっているからその批判はおかしいという立場ではなく、
立場は関係なく、誰が見ても可能な限りわかるものが良いと考えます。
なぜなら、これらのやりとりが変形されて子供の目に触れたときにも「ちゃんと読める」ことが望ましいからです。その点を考えると「なぜそのように考える必要があったのか」をその考え方を解せない人に理解してもらう書き方が多分最良だろうと思います。
代数学の教科書を引用するよりも、代数学の教科書に書いてあることを
「私ならこういう解釈「も」できる。こういう解釈をするとこういうメリットがあるがこういうデメリットがある」
という分析が多分役に立つでしょう。
知識のひけらかし合戦を仕掛けてきた方はコンピュータ音痴だなんだでレッテル貼りを始めたので
こういうのも議論の席に座る気がない人として、私は色々悩みましたが（それでも議論が足りないという考えの人もいるかもしれませんが）堪忍袋の緒が切れましたので、そいつには何か特別なことが起きない限りはまともな対応はしません。
私はメタメタさんの批判対象が私と多分同じであろうということは大分前に理解しましたので
そこでの争いはないものと思っています。
メタメタさんを批判するとしたら、私が掛け算について考えて機械を持ち出したときにそれが
子供と同じだという結論をしていないのにそういう結論をしたと藁人形をされたことぐらいです。
式の意味というものを別の表現で記述できないかと考えた結果です。
もちろん、意味など考えないという考え方もありますけれども、
それは各自の自由ですね。
ある物を色んな視野から見て、色んな見え方がするので、
教師が「一つの見え方」を提示してから、「別の見え方」も提示する
という全体の流れを見て「結局色んな見え方を提示している」のであれば良いと思いますし、
教師が「この見え方以外ない」と言ったらそれは「色んな見方がある」ことと相反するので間違いです。
また教師が「一つの見え方」のみを教えてそのままもダメですね。
「この見え方の方が美しい」ということは「色んな見方がある」こととは独立です。
ですから、「式の意味を考える」「式の意味を無視し値のみに注目する」は相反する前提ではありますが、どちらの見方もあるというのが、採点で×にした教師への論点になりませんか。
猫さんとのやりとりで彼はそういう考えを実例を色々出してくれました。
数学上の話題で。
上の方ではったリンクのスレッドの後ろの方にあります。
できればLogicalInSpaceさんには是非見てもらいたいですし、
猫さんとも交流してみていただきたい。彼は真剣な人には真剣に応えてくれます。
> 118 鰹節猫吉さん
私は、純粋数学に興味を持っているので、物理が専門でないことは、素直に認めます。
＜トピックとは関係がないお話＞
このトピックとは関係はありませんが、純粋数学が物理などでどのように応用されているのか？
数学の応用面において、知らない事はたくさんあると思います。
Gさんと流体力学のお話をしました。
それは数年前ですが、その時にナビエストーク方程式を知りました。
流体力学では、有名な方程式のようです。
また別のIさんと伝熱工学についてお話をしました。
その方には、伝熱工学の書籍を頂きました。
＜このトピックについて＞
> 私が言うべきことでもないかもしれないが、こういうのはもうおやめになったら如何ですか？
「かけ算の意識調査」より多く方からコメントを頂いたことは、感謝しています。
個人的には、「かけ算の交換法則は自明」ですか？ に興味があります。
つまり、「a × b = b × a」の「=（イコール）」について、どのように解釈をしているのか？ に興味があります。
「=（イコール）」は「式は違うが、値は同じ」または「式と値は同じ」なのか？
話が平行線になるようなら、止めた方がいいかもしれません。
また、話がまとまるようならば、このまま進めた方がいいかもしれません。
「かけ算の意識調査」よりコメントを頂いた方で、気になる点などがあれば、そのつどコメントをすれば良いのではないのでしょうか？
私は、純粋数学に興味を持っているので、物理が専門でないことは、素直に認めます。
＜トピックとは関係がないお話＞
このトピックとは関係はありませんが、純粋数学が物理などでどのように応用されているのか？
数学の応用面において、知らない事はたくさんあると思います。
Gさんと流体力学のお話をしました。
それは数年前ですが、その時にナビエストーク方程式を知りました。
流体力学では、有名な方程式のようです。
また別のIさんと伝熱工学についてお話をしました。
その方には、伝熱工学の書籍を頂きました。
＜このトピックについて＞
> 私が言うべきことでもないかもしれないが、こういうのはもうおやめになったら如何ですか？
「かけ算の意識調査」より多く方からコメントを頂いたことは、感謝しています。
個人的には、「かけ算の交換法則は自明」ですか？ に興味があります。
つまり、「a × b = b × a」の「=（イコール）」について、どのように解釈をしているのか？ に興味があります。
「=（イコール）」は「式は違うが、値は同じ」または「式と値は同じ」なのか？
話が平行線になるようなら、止めた方がいいかもしれません。
また、話がまとまるようならば、このまま進めた方がいいかもしれません。
「かけ算の意識調査」よりコメントを頂いた方で、気になる点などがあれば、そのつどコメントをすれば良いのではないのでしょうか？
> 119 Pawnさん
> ある物を色んな視野から見て、色んな見え方がするので、 教師が「一つの見え方」を提示してから、
> 「別の見え方」も提示する という全体の流れを見て「結局色んな見え方を提示している」のであれば良いと思いますし、
> 教師が「この見え方以外ない」と言ったらそれは「色んな見方がある」ことと相反するので間違いです。
> また教師が「一つの見え方」のみを教えてそのままもダメですね。
> 「この見え方の方が美しい」ということは「色んな見方がある」こととは独立です。
> ですから、「式の意味を考える」「式の意味を無視し値のみに注目する」は相反する前提ではありますが、
> どちらの見方もあるというのが、採点で×にした教師への論点になりませんか。
「式は違うけど、値が同じ」という意味で、
http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=67205621&comm_id=4341118
「文章問題の解き方」の提案をしました。
まだ、他にも解き方はたくさんあると思います。
人の考えを見ることは出来ないので、式として表すと、分かる側面があると思います。
> できればLogicalInSpaceさんには是非見てもらいたいですし、
> 猫さんとも交流してみていただきたい。彼は真剣な人には真剣に応えてくれます。
読みました。
「式は違う」観点からの話の印象をもちました。
私は「式は違うけど、値は同じ」と「式と値は同じ」の両方を支持しています。
なぜかというと。
＜例＞
２つの関数f(n), g(n) があります。
f(n) = 1 + 2 + ..... + n
g(n) = n(n + 1)/2
確かに、「式は違うけど、値は同じ」になります。
つまり、関数f(n) と g(n) は定義の仕方が違います。
しかし、実用面を考えると、そのつどf(n)、g(n)を証明して、f(n) = g(n) をするのは、面倒だと思います。
式変形をすることによって、f(n) = g(n) とした方が、計算が速い場合があります。
定義を重視する方は、f(n)、g(n) を証明して、f(n) = g(n) をした方が良いです。
定理を重視する方は、単に式変形とみて、f(n) = g(n) とした方が、効率が良いです。
なので「定義を重視する」、「定理を重視する」は、一長一短があると思います。
> ある物を色んな視野から見て、色んな見え方がするので、 教師が「一つの見え方」を提示してから、
> 「別の見え方」も提示する という全体の流れを見て「結局色んな見え方を提示している」のであれば良いと思いますし、
> 教師が「この見え方以外ない」と言ったらそれは「色んな見方がある」ことと相反するので間違いです。
> また教師が「一つの見え方」のみを教えてそのままもダメですね。
> 「この見え方の方が美しい」ということは「色んな見方がある」こととは独立です。
> ですから、「式の意味を考える」「式の意味を無視し値のみに注目する」は相反する前提ではありますが、
> どちらの見方もあるというのが、採点で×にした教師への論点になりませんか。
「式は違うけど、値が同じ」という意味で、
http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=67205621&comm_id=4341118
「文章問題の解き方」の提案をしました。
まだ、他にも解き方はたくさんあると思います。
人の考えを見ることは出来ないので、式として表すと、分かる側面があると思います。
> できればLogicalInSpaceさんには是非見てもらいたいですし、
> 猫さんとも交流してみていただきたい。彼は真剣な人には真剣に応えてくれます。
読みました。
「式は違う」観点からの話の印象をもちました。
私は「式は違うけど、値は同じ」と「式と値は同じ」の両方を支持しています。
なぜかというと。
＜例＞
２つの関数f(n), g(n) があります。
f(n) = 1 + 2 + ..... + n
g(n) = n(n + 1)/2
確かに、「式は違うけど、値は同じ」になります。
つまり、関数f(n) と g(n) は定義の仕方が違います。
しかし、実用面を考えると、そのつどf(n)、g(n)を証明して、f(n) = g(n) をするのは、面倒だと思います。
式変形をすることによって、f(n) = g(n) とした方が、計算が速い場合があります。
定義を重視する方は、f(n)、g(n) を証明して、f(n) = g(n) をした方が良いです。
定理を重視する方は、単に式変形とみて、f(n) = g(n) とした方が、効率が良いです。
なので「定義を重視する」、「定理を重視する」は、一長一短があると思います。
>115 LogicalInSpaceさん
＝＝＝＝＝＝＝＝＝（引用初め）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜少し大袈裟ですが定義と定理＞
定義：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（全部の量）
定理：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（いくつ分）×（１つ当たり）＝（全部の量）
「小２のかけ算の交換法則」を学ぶ前は、この定義どおり書くことを生徒に指導していると思います。
「小２のかけ算の交換法則」を学んだ後は、この定理を用いてよいと思います。
私は、小２の教科書は、そういう認識です。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝（引用終り）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
ええ，教科書を習っている小2の子どもだって，そう認識するでしょう。ところが，教科書作成者は，そう認識されては困るようなのです。
すでにあちこちで何回も引用しているのですが恐縮なのですが，LogicalInSpaceさんは，こちらについては認識されていないようなので，再再再度掲載しますが，教育出版の『教師用指導書 朱書編』（平成13年/14年）には，次のように教師に注意をうながしているのです。（現行の平成23/24年も確認してきましたが，文言が一部易しくなっている（「ドット図やアレイ図」→「おはじき」など）だけで，同趣旨の文があります。）
「これまでに，乗法の意味に基づき，被乗数は１つ分の数，乗数はそのいくつ分として立式することを指導してきている。しかし，交換法則では被乗数と乗数を入れ替えても答えは同じであることを指導するため，不用意に３×５＝５×３のような式を導入した形式的な扱いを急ぐと，混乱する子供が出てくることも考えられる。したがって，例えば『３個の５つ分』と『５個の３つ分』では式の意味は違うが答えは同じであるということを，ドット図やアレイ図を用いて視覚的にも十分に納得させてからまとめることが大切である。」
つまり，教科書指導書は，「小２のかけ算の交換法則」を学んだ後も、この「定理」（という用語は，小2には大げさですが）を用いてはダメだ，と言っているし，実際にそういう指導がなされていることが，ネットでいくつも報告されているのです。
LogicalInSpaceさんも，それはおかしいと思われるでしょう。というか，それを私たちが問題にしてきたという認識がなかったのですか？
＝＝＝＝＝＝＝＝＝（引用初め）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜少し大袈裟ですが定義と定理＞
定義：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（全部の量）
定理：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（いくつ分）×（１つ当たり）＝（全部の量）
「小２のかけ算の交換法則」を学ぶ前は、この定義どおり書くことを生徒に指導していると思います。
「小２のかけ算の交換法則」を学んだ後は、この定理を用いてよいと思います。
私は、小２の教科書は、そういう認識です。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝（引用終り）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
ええ，教科書を習っている小2の子どもだって，そう認識するでしょう。ところが，教科書作成者は，そう認識されては困るようなのです。
すでにあちこちで何回も引用しているのですが恐縮なのですが，LogicalInSpaceさんは，こちらについては認識されていないようなので，再再再度掲載しますが，教育出版の『教師用指導書 朱書編』（平成13年/14年）には，次のように教師に注意をうながしているのです。（現行の平成23/24年も確認してきましたが，文言が一部易しくなっている（「ドット図やアレイ図」→「おはじき」など）だけで，同趣旨の文があります。）
「これまでに，乗法の意味に基づき，被乗数は１つ分の数，乗数はそのいくつ分として立式することを指導してきている。しかし，交換法則では被乗数と乗数を入れ替えても答えは同じであることを指導するため，不用意に３×５＝５×３のような式を導入した形式的な扱いを急ぐと，混乱する子供が出てくることも考えられる。したがって，例えば『３個の５つ分』と『５個の３つ分』では式の意味は違うが答えは同じであるということを，ドット図やアレイ図を用いて視覚的にも十分に納得させてからまとめることが大切である。」
つまり，教科書指導書は，「小２のかけ算の交換法則」を学んだ後も、この「定理」（という用語は，小2には大げさですが）を用いてはダメだ，と言っているし，実際にそういう指導がなされていることが，ネットでいくつも報告されているのです。
LogicalInSpaceさんも，それはおかしいと思われるでしょう。というか，それを私たちが問題にしてきたという認識がなかったのですか？
> 124 メタメタさん
> ＝＝＝＝＝＝＝＝＝（引用初め）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
> ＜少し大袈裟ですが定義と定理＞
> 定義：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（全部の量）
> 定理：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（いくつ分）×（１つ当たり）＝（全部の量）
> 「小２のかけ算の交換法則」を学ぶ前は、この定義どおり書くことを生徒に指導していると思います。
> 「小２のかけ算の交換法則」を学んだ後は、この定理を用いてよいと思います。
> 私は、小２の教科書は、そういう認識です。
> ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝（引用終り）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
> つまり，教科書指導書は，「小２のかけ算の交換法則」を学んだ後も、
> この「定理」（という用語は，小2には大げさですが）を用いてはダメだ，
> と言っているし，実際にそういう指導がなされていることが，ネットでいくつも報告されているのです。
> LogicalInSpaceさんも，それはおかしいと思われるでしょう。
> というか，それを私たちが問題にしてきたという認識がなかったのですか？
小３以降という意味では、認識はなかったです。
小３以降の「生徒側」と「教科書側（教師側）」の違いがあります。
「生徒側」は「定義」と「定理」を使ってい良いと思います。
小３から小６まで「教科書側（教師側）」は、「定義」（考える指針や基準）から説明すると思います。
だから、おかしいとは思わないです。
＜直方体の体積の求め方＞
すこし大袈裟に書くと、直方体の体積の求め方の定義は
定義：直方体の体積 ≡「縦」×「横」×「高さ」
定理：直方体の体積 ＝「高さ」×「縦」×「横」（かけ算の交換法則が成り立つ）（６通りあります）
もちろん、かけ算の交換法則が成り立つので、どのように入れかえても構わないです。
これも、同様に。
「生徒側」は「定義」と「定理」を使ってい良いと思います。
小３から小６まで「教科書側（教師側）」は、「定義」（考える指針や基準）から説明すると思います。
例えば、直方体では「縦」＝ 5cm、「横」＝ 15cm、「高さ」＝ 4cm のとき、体積は、「cm^3」ですか。
直方体の体積
＝ 5 × 15 × 4 （定義通りにかく）
＝ 5 × 4 × 15 （計算がしやすいため、かけ算の交換法則を使う）
＝ 20 × 15
＝ 300
直方体の体積は、300cm^3 ..... （答え）
なので、正しい間違いという意味ではなく、「教科書側（教師側）」は考える指針や基準として、統一性を持たせるという意味です。
> ＝＝＝＝＝＝＝＝＝（引用初め）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
> ＜少し大袈裟ですが定義と定理＞
> 定義：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（全部の量）
> 定理：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（いくつ分）×（１つ当たり）＝（全部の量）
> 「小２のかけ算の交換法則」を学ぶ前は、この定義どおり書くことを生徒に指導していると思います。
> 「小２のかけ算の交換法則」を学んだ後は、この定理を用いてよいと思います。
> 私は、小２の教科書は、そういう認識です。
> ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝（引用終り）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
> つまり，教科書指導書は，「小２のかけ算の交換法則」を学んだ後も、
> この「定理」（という用語は，小2には大げさですが）を用いてはダメだ，
> と言っているし，実際にそういう指導がなされていることが，ネットでいくつも報告されているのです。
> LogicalInSpaceさんも，それはおかしいと思われるでしょう。
> というか，それを私たちが問題にしてきたという認識がなかったのですか？
小３以降という意味では、認識はなかったです。
小３以降の「生徒側」と「教科書側（教師側）」の違いがあります。
「生徒側」は「定義」と「定理」を使ってい良いと思います。
小３から小６まで「教科書側（教師側）」は、「定義」（考える指針や基準）から説明すると思います。
だから、おかしいとは思わないです。
＜直方体の体積の求め方＞
すこし大袈裟に書くと、直方体の体積の求め方の定義は
定義：直方体の体積 ≡「縦」×「横」×「高さ」
定理：直方体の体積 ＝「高さ」×「縦」×「横」（かけ算の交換法則が成り立つ）（６通りあります）
もちろん、かけ算の交換法則が成り立つので、どのように入れかえても構わないです。
これも、同様に。
「生徒側」は「定義」と「定理」を使ってい良いと思います。
小３から小６まで「教科書側（教師側）」は、「定義」（考える指針や基準）から説明すると思います。
例えば、直方体では「縦」＝ 5cm、「横」＝ 15cm、「高さ」＝ 4cm のとき、体積は、「cm^3」ですか。
直方体の体積
＝ 5 × 15 × 4 （定義通りにかく）
＝ 5 × 4 × 15 （計算がしやすいため、かけ算の交換法則を使う）
＝ 20 × 15
＝ 300
直方体の体積は、300cm^3 ..... （答え）
なので、正しい間違いという意味ではなく、「教科書側（教師側）」は考える指針や基準として、統一性を持たせるという意味です。
>>メタメタさん
>不用意に３×５＝５×３のような式を導入した形式的な扱いを急ぐと，混乱する子供が出てくることも考えられる。
この部分は「子供が混乱していないことを十分に確認したのであれば、その子には形式的扱いを教えることは問題ない。」
ということだと思います。
これも実施側が指導書を盾にしたときの反論として使えるのではないでしょうか。
もちろんその定理をあらゆる場合に使ってはならないというのは「嘘」になります。
子供の自立のためには、論理的に推論する力だけでは不十分で、異なる前提を状況に応じて
使い分けて複雑に見えがちな問題を効率良く（見通しを良く）解決できるように
各自が取捨選択できるようにすることが大事だと思います。
>不用意に３×５＝５×３のような式を導入した形式的な扱いを急ぐと，混乱する子供が出てくることも考えられる。
この部分は「子供が混乱していないことを十分に確認したのであれば、その子には形式的扱いを教えることは問題ない。」
ということだと思います。
これも実施側が指導書を盾にしたときの反論として使えるのではないでしょうか。
もちろんその定理をあらゆる場合に使ってはならないというのは「嘘」になります。
子供の自立のためには、論理的に推論する力だけでは不十分で、異なる前提を状況に応じて
使い分けて複雑に見えがちな問題を効率良く（見通しを良く）解決できるように
各自が取捨選択できるようにすることが大事だと思います。
>>123 なるほど。前提の選び方は問題に応じて変わるので、その考えには賛同します。
式の構造に着目するか、値そのものに着目するかによって、効率の良さが違うと思いますので。
私が今研究していることは、ある量の評価に対する式の表現なんですが、
F[f,g](s,t)=sup_{0 <= v <=s}sup_{0 <= u <= v} min(f(v,t),f(u,t)+g(u,v)-c*(s-u))
G[f,g](s,t)=inf_{0 <= v <= s}sup_{0 <= u <= v} max(f(v,t),f(u,t)+g(u,v)-c*(s-u))
というのは f,g が連続で f が第一変数について単調減少、第二変数について単調増加
gは第二変数について単調増加、f(x,x)=0, g(0,0)>=0
というような条件の時は、A(v)=f(v,t), B(v)=sup_{0<= u <= v} f(u,t)+g(u,v)-c*(s-u)
のグラフを書くとAが単調増加、Bが単調減少で、交差するところで F[f,g], G[f,g] の値（一致）
します。ただ汎関数Gは(min,+)代数での畳み込みを使って表現可能で、Fはそうではありません。
さらにs,t,u,vの範囲を離散にするとか、f,gが有限の範囲で高々有限個の不連続点を持つ場合は、
A,Bにもギャップが現れて、そのギャップを表す垂直方向の線分が重なったときに限って、
F[f,g]の方が真に小さくなります（値が一致しなくなる）。
こういう場合に計算効率重視（上界さえ求まれば良いという視点）ならば、
G[f,g] の方が畳み込み演算の性質を使えるので良い式なのですが、
あくまでより小さい上界を保持したいなら計算効率は悪いのですが、Fを採用することにナリマス。
従いまして汎関数の違いは関数の式の違いと言っても良いので、
賛同できるのです。
式の構造に着目するか、値そのものに着目するかによって、効率の良さが違うと思いますので。
私が今研究していることは、ある量の評価に対する式の表現なんですが、
F[f,g](s,t)=sup_{0 <= v <=s}sup_{0 <= u <= v} min(f(v,t),f(u,t)+g(u,v)-c*(s-u))
G[f,g](s,t)=inf_{0 <= v <= s}sup_{0 <= u <= v} max(f(v,t),f(u,t)+g(u,v)-c*(s-u))
というのは f,g が連続で f が第一変数について単調減少、第二変数について単調増加
gは第二変数について単調増加、f(x,x)=0, g(0,0)>=0
というような条件の時は、A(v)=f(v,t), B(v)=sup_{0<= u <= v} f(u,t)+g(u,v)-c*(s-u)
のグラフを書くとAが単調増加、Bが単調減少で、交差するところで F[f,g], G[f,g] の値（一致）
します。ただ汎関数Gは(min,+)代数での畳み込みを使って表現可能で、Fはそうではありません。
さらにs,t,u,vの範囲を離散にするとか、f,gが有限の範囲で高々有限個の不連続点を持つ場合は、
A,Bにもギャップが現れて、そのギャップを表す垂直方向の線分が重なったときに限って、
F[f,g]の方が真に小さくなります（値が一致しなくなる）。
こういう場合に計算効率重視（上界さえ求まれば良いという視点）ならば、
G[f,g] の方が畳み込み演算の性質を使えるので良い式なのですが、
あくまでより小さい上界を保持したいなら計算効率は悪いのですが、Fを採用することにナリマス。
従いまして汎関数の違いは関数の式の違いと言っても良いので、
賛同できるのです。
128の一部を修正です。Aは単調増加ではなく単調減少、Bは単調減少ではなく単調増加です。
v=0での値と v=sでの値でたしかAの大きさとBの大きさが入れ替わったと思いますがそのための条件が不足しているかもしれません。
式は複雑ですが、
F[f,g](s,t)=sup_{0<= v <= s} min(A(v),B(v))
G[f,g](s,t)=inf_{0<= v <= s} max(A(v),B(v))
の違いを見ています。×の形の交差するところがF[f,g],G[f,g] の値にナリマス。
でもA,Bがともにギャップを持っていて、
V
｜
Λ
という感じに交差するとF[f,g](s,t)<G[f,g](s,t) となってしまいます。
また F[f,g] も G[f,g] も評価したい量の上界です。
上界はできるだけ小さいほうが良いということと計算しやすいということが
条件によって異なるという例です。
v=0での値と v=sでの値でたしかAの大きさとBの大きさが入れ替わったと思いますがそのための条件が不足しているかもしれません。
式は複雑ですが、
F[f,g](s,t)=sup_{0<= v <= s} min(A(v),B(v))
G[f,g](s,t)=inf_{0<= v <= s} max(A(v),B(v))
の違いを見ています。×の形の交差するところがF[f,g],G[f,g] の値にナリマス。
でもA,Bがともにギャップを持っていて、
V
｜
Λ
という感じに交差するとF[f,g](s,t)<G[f,g](s,t) となってしまいます。
また F[f,g] も G[f,g] も評価したい量の上界です。
上界はできるだけ小さいほうが良いということと計算しやすいということが
条件によって異なるという例です。
従って、一部の関数の集合において、一致しているから、式も一致と考えると
その集合の範囲を広げたときには大問題になってしまいますので、
この場合については、F = G としてはまずいです。
掛け算についても式の意味を汎関数として記述できるのではないかと思います。
でも書き方がよくわかりませんし、考慮するのはx*y が特殊な場合として得られるような
関数と関数の積のような拡張をしないといけません。
行列の積も考慮に入れるような積を定めて、二つの汎関数は引数の順番を入れ替えるということです。
それを積と呼ぶことにしたときに汎関数FとGは異なるということとして式の意味が違う
の代弁とすることもできるのではないかと思います。
F[f,g](x,y) と G[f,g](x,y) を考えて f(x),g(x) はf,gを入れ替えるとスカラーや行列になるというようなものです。x,yもスカラーではなくて何かの数列として
f_1(x)=x_1
f_2(x)=((x_1,x_2),(x_3,x_4))
f_3(x)=((x_1,x_2,x_3),(x_4,x_5,x_6),(x_7,x_8,x_9))
...
というように（これは正方行列だけですけれども）して
F[f,g](x,y)=f(x)*g(y) G[f,g](x,y)=g(y)*f(x) （*は行列の意味での積）
としたら、F,G は異なるということですかね。
その集合の範囲を広げたときには大問題になってしまいますので、
この場合については、F = G としてはまずいです。
掛け算についても式の意味を汎関数として記述できるのではないかと思います。
でも書き方がよくわかりませんし、考慮するのはx*y が特殊な場合として得られるような
関数と関数の積のような拡張をしないといけません。
行列の積も考慮に入れるような積を定めて、二つの汎関数は引数の順番を入れ替えるということです。
それを積と呼ぶことにしたときに汎関数FとGは異なるということとして式の意味が違う
の代弁とすることもできるのではないかと思います。
F[f,g](x,y) と G[f,g](x,y) を考えて f(x),g(x) はf,gを入れ替えるとスカラーや行列になるというようなものです。x,yもスカラーではなくて何かの数列として
f_1(x)=x_1
f_2(x)=((x_1,x_2),(x_3,x_4))
f_3(x)=((x_1,x_2,x_3),(x_4,x_5,x_6),(x_7,x_8,x_9))
...
というように（これは正方行列だけですけれども）して
F[f,g](x,y)=f(x)*g(y) G[f,g](x,y)=g(y)*f(x) （*は行列の意味での積）
としたら、F,G は異なるということですかね。
> 128 Pawnさん
> なるほど。前提の選び方は問題に応じて変わるので、その考えには賛同します。
賛同して頂き、ありがとうございます。
> F[f,g](s,t)=sup_{0 <= v <=s}sup_{0 <= u <= v} min(f(v,t),f(u,t)+g(u,v)-c*(s-u))
> G[f,g](s,t)=inf_{0 <= v <= s}sup_{0 <= u <= v} max(f(v,t),f(u,t)+g(u,v)-c*(s-u))
分かりやすくするため、次のように置き換えてみました。
f(x, y) と g(x, y) の関数は色々とあると思いますが、あえて置き換えてみました。
f(x, y) = x + y
g(x, y) = x + y
F[f, g] のとき
v = S(v) = sup{0 ≦ v ≦ s}
u = SS(u) = sup{0 ≦ u ≦ S(v)}
G[f, g] のとき
v = I(v) = inf{0 ≦ v ≦ s}
u = SI(u) = sup{0 ≦ u ≦ I(v)}
c = 2
と置きます。
0 ≦ u ≦ v ≦ s において
F[f, g](s, t) = min{ f(v,t), f(u,t)+g(u,v)-c*(s-u) }
G[f, g](s, t) = max{ f(v,t), f(u,t)+g(u,v)-c*(s-u) }
⇔
F[f, g](s, t) = min[{S(v) + t}, {SS(u) + t} + {SS(u) + S(v)} - 2*{s - SS(u)}]
G[f, g](s, t) = max[{I(v) + t}, {SI(u) + t} + {SI(u) + I(v)} - 2*{s - SI(u)}]
⇔
F[f, g](s, t) = min[{S(v) + t}, {4SS(u) - 2s} + {S(v) + t}]
G[f, g](s, t) = max[{I(v) + t}, {4SI(u) - 2s} + {I(v) + t}]
F[f, g](s, t) ≦ G[f, g](s, t) ですが、
F[f, g](s, t) ＝ G[f, g](s, t) のとき、F[f, g](s, t) ＜ G[f, g](s, t)のとき
のように「＝」と「＜」を分けることは興味深いです。
確かに、汎関数の違いより「＝」と「＜」は言えますね。
勝手に、置きなしてごめんなさい(m__m)
> なるほど。前提の選び方は問題に応じて変わるので、その考えには賛同します。
賛同して頂き、ありがとうございます。
> F[f,g](s,t)=sup_{0 <= v <=s}sup_{0 <= u <= v} min(f(v,t),f(u,t)+g(u,v)-c*(s-u))
> G[f,g](s,t)=inf_{0 <= v <= s}sup_{0 <= u <= v} max(f(v,t),f(u,t)+g(u,v)-c*(s-u))
分かりやすくするため、次のように置き換えてみました。
f(x, y) と g(x, y) の関数は色々とあると思いますが、あえて置き換えてみました。
f(x, y) = x + y
g(x, y) = x + y
F[f, g] のとき
v = S(v) = sup{0 ≦ v ≦ s}
u = SS(u) = sup{0 ≦ u ≦ S(v)}
G[f, g] のとき
v = I(v) = inf{0 ≦ v ≦ s}
u = SI(u) = sup{0 ≦ u ≦ I(v)}
c = 2
と置きます。
0 ≦ u ≦ v ≦ s において
F[f, g](s, t) = min{ f(v,t), f(u,t)+g(u,v)-c*(s-u) }
G[f, g](s, t) = max{ f(v,t), f(u,t)+g(u,v)-c*(s-u) }
⇔
F[f, g](s, t) = min[{S(v) + t}, {SS(u) + t} + {SS(u) + S(v)} - 2*{s - SS(u)}]
G[f, g](s, t) = max[{I(v) + t}, {SI(u) + t} + {SI(u) + I(v)} - 2*{s - SI(u)}]
⇔
F[f, g](s, t) = min[{S(v) + t}, {4SS(u) - 2s} + {S(v) + t}]
G[f, g](s, t) = max[{I(v) + t}, {4SI(u) - 2s} + {I(v) + t}]
F[f, g](s, t) ≦ G[f, g](s, t) ですが、
F[f, g](s, t) ＝ G[f, g](s, t) のとき、F[f, g](s, t) ＜ G[f, g](s, t)のとき
のように「＝」と「＜」を分けることは興味深いです。
確かに、汎関数の違いより「＝」と「＜」は言えますね。
勝手に、置きなしてごめんなさい(m__m)
> 129 Pawnさん
「> 126」より
> 子供の自立のためには、論理的に推論する力だけでは不十分で、異なる前提を状況に応じて
> 使い分けて複雑に見えがちな問題を効率良く（見通しを良く）解決できるように
> 各自が取捨選択できるようにすることが大事だと思います。
> この観点からのあなたのご意見をお伺いします。
＜理想では＞
理想だけを言えば、「定義（調べて）」に従って考えて、「定理（きまり）」の証明を理解して、「定理（きまり）」の応用が出来ることが望ましいと考えています。
＜実際に指導してみて＞
ただ、家庭教師の小・中・高の生徒を指導していて、なかなか理想通りにはいかないことも事実です。
つまり、生徒の理解力の応じて、どのように指導するかは、いつも課題です。
（例として）
１次関数 y = ax + b の傾き 2, 点(-1, 1) を通る、方程式を求めなさい。
（生徒の解答１）
a = 2 より
1 = (-1) × 2 + b (y = xa + b)
⇔ 1 = -2 + b (A = B)
⇔ -b + 2 = -1 (-B = -A)
⇔ -b = -1 - 2
⇔ -b = -3 (両辺に(-1)をかける)
⇔ b = 3 (B = A)
（すこし面倒な解き方する生徒）
（生徒の解答２）
a = 2 より b = 3
（すべて暗算でする生徒）
と解く生徒がいます。
（私の解答）
私の解答としては（途中過程を書いて欲しいです）
⇔ a = 2 より
⇔ 1 = 2 × (-1) + b (y = ax + b)
⇔ 1 = -2 + b (A = B)
⇔ -2 + b = 1 (B = A)
⇔ b = 1 + 2
⇔ b = 3
生徒の理解力の応じた教え方が必要だと実感をしています。
「> 126」より
> 子供の自立のためには、論理的に推論する力だけでは不十分で、異なる前提を状況に応じて
> 使い分けて複雑に見えがちな問題を効率良く（見通しを良く）解決できるように
> 各自が取捨選択できるようにすることが大事だと思います。
> この観点からのあなたのご意見をお伺いします。
＜理想では＞
理想だけを言えば、「定義（調べて）」に従って考えて、「定理（きまり）」の証明を理解して、「定理（きまり）」の応用が出来ることが望ましいと考えています。
＜実際に指導してみて＞
ただ、家庭教師の小・中・高の生徒を指導していて、なかなか理想通りにはいかないことも事実です。
つまり、生徒の理解力の応じて、どのように指導するかは、いつも課題です。
（例として）
１次関数 y = ax + b の傾き 2, 点(-1, 1) を通る、方程式を求めなさい。
（生徒の解答１）
a = 2 より
1 = (-1) × 2 + b (y = xa + b)
⇔ 1 = -2 + b (A = B)
⇔ -b + 2 = -1 (-B = -A)
⇔ -b = -1 - 2
⇔ -b = -3 (両辺に(-1)をかける)
⇔ b = 3 (B = A)
（すこし面倒な解き方する生徒）
（生徒の解答２）
a = 2 より b = 3
（すべて暗算でする生徒）
と解く生徒がいます。
（私の解答）
私の解答としては（途中過程を書いて欲しいです）
⇔ a = 2 より
⇔ 1 = 2 × (-1) + b (y = ax + b)
⇔ 1 = -2 + b (A = B)
⇔ -2 + b = 1 (B = A)
⇔ b = 1 + 2
⇔ b = 3
生徒の理解力の応じた教え方が必要だと実感をしています。
> 131 Pawnさん
> 掛け算についても式の意味を汎関数として記述できるのではないかと思います。
> でも書き方がよくわかりませんし、考慮するのはx*y が特殊な場合として得られるような
> 関数と関数の積のような拡張をしないといけません。
s, t, u, v ∈ Z として
0 ≦ s ≦ 9, 0 ≦ t ≦ 9, 1 ≦ u ≦ 9, 1 ≦ v ≦ 9
1 ≦ s + t ≦ 9 とします。
f(s, t) = s + t, g(u) = u, g(v) = v として
F[f, g] = f(s, t) * g(u)
G[f, g] = g(v) * f(s, t)
F[f, g] ＝ G[f, g] (u ＝ v)
F[f, g] ≠ G[f, g] (u ≠ v)
でしょうか？
かけ算の「９９」の表が出来るイメージです。
> 掛け算についても式の意味を汎関数として記述できるのではないかと思います。
> でも書き方がよくわかりませんし、考慮するのはx*y が特殊な場合として得られるような
> 関数と関数の積のような拡張をしないといけません。
s, t, u, v ∈ Z として
0 ≦ s ≦ 9, 0 ≦ t ≦ 9, 1 ≦ u ≦ 9, 1 ≦ v ≦ 9
1 ≦ s + t ≦ 9 とします。
f(s, t) = s + t, g(u) = u, g(v) = v として
F[f, g] = f(s, t) * g(u)
G[f, g] = g(v) * f(s, t)
F[f, g] ＝ G[f, g] (u ＝ v)
F[f, g] ≠ G[f, g] (u ≠ v)
でしょうか？
かけ算の「９９」の表が出来るイメージです。
>>133 特殊なケースで考えられたということですね。f(s,t)=r*(t-s), g(s,t)=R*(t-s) のようなものを
想定していますので、符号の違いがありますが、完全に重ならないならば問題ないかもしれませんね。
ちなみにこの評価式というのは複数のデータの入力累積関数（f,g）があるときの
一定量の処理をするQueueに先着順で処理をさせるとしたときの、
fの方のインプットが被る遅延や滞留量、出力累積量に関係しています。
もっとも考察が容易だったのは滞留量です。 F[f,g](t,t) または G[f,g](t,t) が時刻 t での滞留量です。
（連続時間の場合で入力データも流体のようなものを想定。fが注目するデータフローで、gが競合データフロー）
ネットワークを考えるようにすると、都合の良い演算を導入したくなります。
F[f,g]= f F g
G[f,g]=f G g という感じです。
((f F g) F h) は二つのノードからなるネットワークで競合が各ノードにあるケースです。
もし f F (g * h) というように変形できるならネットワークは g*h に競合する
一つのノードとみなして計算できるということです。
厳密な計算（等号でつなぐ）ではこれは無理なんですが、上界で構わないと（＜＝で繋ぐのはOK)
すると (f F g) F h はこれ以上動かせなさそうなのですが、 (f G g) G h <= f G (g ** h) というようなことを
することができるのです。
そして f**g (s,t) =min_{s <= u <= t} f(s,u)+g(u,t) という形だったと思います。
これは(min,plus)-代数での畳込みです。
なので表現の違いがある目的では使いやすいということはあります。
（掛け算そのものではないので、だからこれを算数教育に反映させろなどという無茶は言いませんが）
一方で、汎関数レベルでも実は同じというものを考えたときは、式の意味も値としても同じ
というようにできます。そうすると汎汎関数での違いは何？といったことも浮かぶのですが・・・
きっとここの違いがあったらほとんどの人には理解してもらえない気がします。
>>136 とりあえず、提案は伝わったことはわかりました。
ただそれで良いかはちょっと考えてみないとわからないので
（式の違いは汎関数の違いとしてかけるかを九九でやったということですよね）
確認のためお時間をいただきます。
想定していますので、符号の違いがありますが、完全に重ならないならば問題ないかもしれませんね。
ちなみにこの評価式というのは複数のデータの入力累積関数（f,g）があるときの
一定量の処理をするQueueに先着順で処理をさせるとしたときの、
fの方のインプットが被る遅延や滞留量、出力累積量に関係しています。
もっとも考察が容易だったのは滞留量です。 F[f,g](t,t) または G[f,g](t,t) が時刻 t での滞留量です。
（連続時間の場合で入力データも流体のようなものを想定。fが注目するデータフローで、gが競合データフロー）
ネットワークを考えるようにすると、都合の良い演算を導入したくなります。
F[f,g]= f F g
G[f,g]=f G g という感じです。
((f F g) F h) は二つのノードからなるネットワークで競合が各ノードにあるケースです。
もし f F (g * h) というように変形できるならネットワークは g*h に競合する
一つのノードとみなして計算できるということです。
厳密な計算（等号でつなぐ）ではこれは無理なんですが、上界で構わないと（＜＝で繋ぐのはOK)
すると (f F g) F h はこれ以上動かせなさそうなのですが、 (f G g) G h <= f G (g ** h) というようなことを
することができるのです。
そして f**g (s,t) =min_{s <= u <= t} f(s,u)+g(u,t) という形だったと思います。
これは(min,plus)-代数での畳込みです。
なので表現の違いがある目的では使いやすいということはあります。
（掛け算そのものではないので、だからこれを算数教育に反映させろなどという無茶は言いませんが）
一方で、汎関数レベルでも実は同じというものを考えたときは、式の意味も値としても同じ
というようにできます。そうすると汎汎関数での違いは何？といったことも浮かぶのですが・・・
きっとここの違いがあったらほとんどの人には理解してもらえない気がします。
>>136 とりあえず、提案は伝わったことはわかりました。
ただそれで良いかはちょっと考えてみないとわからないので
（式の違いは汎関数の違いとしてかけるかを九九でやったということですよね）
確認のためお時間をいただきます。
>>134 なるほど。
現実としては、推論はしていてもそれを書かないとか、そもそも推論は特定の問題にのみ
対応可能で機械的にやっていることが多く、人間計算機である場合とか
色々ありそうですね。
解答２はそれだけだと理解しているかどうか全くわからないと言って良いでしょう。
解答１は推論の部分はよくできていると思います。
遠回りしているのは b=hogehoge という形にしていくための最短経路を考えていないというだけで
論理でつなぐことはできていますからね。
（最短経路ばかり考えていると、最短経路でないところに良い視点があったりなんかしても
気がつかないので最短経路がいつも良いとは限りませんね。）
例えば、そういう現実の問題に対しては、
解答を与えておいて、この解答が正しくなるような問題を作成しなさい
というようなやり方とか、
結構色んな考察をしないと解けないクイズ形式でいくとか
誰も「算数」だとは気がつかないでハマれる出題の仕方をしたら
クリアできそうな気もします。
マッチ棒を２本だけ動かして同じ大きさの正方形を４つ作りなさいとか
（初期配置は図で与える。省略）
そういうのも幾何の話ですがクイズとしても成立していて
文章題よりはずっとはまってくれそうですけれどね。
現実としては、推論はしていてもそれを書かないとか、そもそも推論は特定の問題にのみ
対応可能で機械的にやっていることが多く、人間計算機である場合とか
色々ありそうですね。
解答２はそれだけだと理解しているかどうか全くわからないと言って良いでしょう。
解答１は推論の部分はよくできていると思います。
遠回りしているのは b=hogehoge という形にしていくための最短経路を考えていないというだけで
論理でつなぐことはできていますからね。
（最短経路ばかり考えていると、最短経路でないところに良い視点があったりなんかしても
気がつかないので最短経路がいつも良いとは限りませんね。）
例えば、そういう現実の問題に対しては、
解答を与えておいて、この解答が正しくなるような問題を作成しなさい
というようなやり方とか、
結構色んな考察をしないと解けないクイズ形式でいくとか
誰も「算数」だとは気がつかないでハマれる出題の仕方をしたら
クリアできそうな気もします。
マッチ棒を２本だけ動かして同じ大きさの正方形を４つ作りなさいとか
（初期配置は図で与える。省略）
そういうのも幾何の話ですがクイズとしても成立していて
文章題よりはずっとはまってくれそうですけれどね。
Pawnさん
> F[f,g](s,t)=sup_{0 <= v <=s}sup_{0 <= u <= v} min(f(v,t),f(u,t)+g(u,v)-c*(s-u))
> G[f,g](s,t)=inf_{0 <= v <= s}sup_{0 <= u <= v} max(f(v,t),f(u,t)+g(u,v)-c*(s-u))
「> 128」の式は、「マルコフ」と何か関係がある式なのですか？
本やネットなどで調べてみて、Pawnさんの自己紹介を読んで、「マルコフ」と何か関係がありそうだと思いました。
「> 137」の「Queue」や「ネットワーク」などの説明も「マルコフ」と何か関係がありそうだと思いました。
私は「マルコフ」は詳しくは知らないです。
「> 128」は、どんな分野の事例なのでしょうか？
> F[f,g](s,t)=sup_{0 <= v <=s}sup_{0 <= u <= v} min(f(v,t),f(u,t)+g(u,v)-c*(s-u))
> G[f,g](s,t)=inf_{0 <= v <= s}sup_{0 <= u <= v} max(f(v,t),f(u,t)+g(u,v)-c*(s-u))
「> 128」の式は、「マルコフ」と何か関係がある式なのですか？
本やネットなどで調べてみて、Pawnさんの自己紹介を読んで、「マルコフ」と何か関係がありそうだと思いました。
「> 137」の「Queue」や「ネットワーク」などの説明も「マルコフ」と何か関係がありそうだと思いました。
私は「マルコフ」は詳しくは知らないです。
「> 128」は、どんな分野の事例なのでしょうか？
＜途中経過のまとめ＞
「かけ算の意識調査」をして頂いた方には、感謝しています。
ありがとうございます。
>>> -----「＝」の解釈 ----- <<<
かけ算の交換法則「a × b ＝ b × a」の「＝」の解釈に興味があります。
「＝」の解釈には、「式が違って、値は同じ」と「式と値が同じ」の２つの解釈があります。
他の皆さんのコメントを読むと、「式と値が同じ」の印象を持っています。
皆さんは、次の現在は、次のどれだと考えているのでしょうか？
?「式が違って、値は同じ」と解釈している。（「定義」タイプの方）
?「式と値が同じ」と解釈している。（「定理」タイプの方）
?「式が違って、値は同じ」、「式と値が同じ」と解釈している。（「定義」と「定理」タイプの方）
皆さんは、?〜?のどれだと考えていますか？
協力して頂ける方は、教えてもらえますか？
>>> ----- 除法の交換法則 ----- <<<
?の「式と値が同じ」を強調した場合に、実数体の除法の交換法則の例を出しました。
高校までの範囲ならば、算数のわり算（除法）は「x ÷ y ≠ y ÷ x」です。
大学の代数系の実数体ならば、除法（わり算）は「x・y^(-1) ≡ x ÷ y」より可換体より「y^(-1)・x = x ÷ y」より
「x・y^(-1) = y^(-1)・x = x ÷ y」より除法は交換法則は成り立つ。
どちらも、間違いではありません。
>>> ----- 「定義」と「定理」 ----- <<<
小２では、どのようになるか調べてみましょう。 そして、このように書きます。 つまり数学の「定義」です。
小２では、「● × ▲ ＝ ▲ × ●」のようなきまりがあります。 つまり数学の「定理」です。
小２向けに表現をすると
かけ算を調べる：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（全部の量）
かけ算のきまり：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（いくつ分）×（１つ当たり）＝（全部の量）
算数では、どのようになるか調べて、式の書き方を学びます。 その式の書き方からきまりを発見します。
大人向けに表現をすると
定義：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（全部の量）
定理：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（いくつ分）×（１つ当たり）＝（全部の量）
数学では「定義」をして、「定義」から導かれるのが「定理」です。
数学を専門としている方は、定義とは、考え方の指標や基準です。 定理とは、使い方の基準です。
>>> ----- テストの誤答 ----- <<<
かけ算を調べる：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（全部の量）
かけ算のきまり：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（いくつ分）×（１つ当たり）＝（全部の量）
「小２のかけ算の交換法則」を学ぶ前は、「かけ算を調べる」どおり書くことを生徒に指導していると思います。
「小２のかけ算の交換法則」を学んだ後は、「かけ算のきまり」を用いてよいと思います。
> ５人に３個ずつ蜜柑を配った。蜜柑の数は全部でいくつ？
> ＜不正解＞ ５×３＝１５ 答え １５個
私は、「かけ算の調べる」（つまり基準として）通りに式を立てられるのか？
それをテストで確認していると思います。
「かけ算の意識調査」をして頂いた方には、感謝しています。
ありがとうございます。
>>> -----「＝」の解釈 ----- <<<
かけ算の交換法則「a × b ＝ b × a」の「＝」の解釈に興味があります。
「＝」の解釈には、「式が違って、値は同じ」と「式と値が同じ」の２つの解釈があります。
他の皆さんのコメントを読むと、「式と値が同じ」の印象を持っています。
皆さんは、次の現在は、次のどれだと考えているのでしょうか？
?「式が違って、値は同じ」と解釈している。（「定義」タイプの方）
?「式と値が同じ」と解釈している。（「定理」タイプの方）
?「式が違って、値は同じ」、「式と値が同じ」と解釈している。（「定義」と「定理」タイプの方）
皆さんは、?〜?のどれだと考えていますか？
協力して頂ける方は、教えてもらえますか？
>>> ----- 除法の交換法則 ----- <<<
?の「式と値が同じ」を強調した場合に、実数体の除法の交換法則の例を出しました。
高校までの範囲ならば、算数のわり算（除法）は「x ÷ y ≠ y ÷ x」です。
大学の代数系の実数体ならば、除法（わり算）は「x・y^(-1) ≡ x ÷ y」より可換体より「y^(-1)・x = x ÷ y」より
「x・y^(-1) = y^(-1)・x = x ÷ y」より除法は交換法則は成り立つ。
どちらも、間違いではありません。
>>> ----- 「定義」と「定理」 ----- <<<
小２では、どのようになるか調べてみましょう。 そして、このように書きます。 つまり数学の「定義」です。
小２では、「● × ▲ ＝ ▲ × ●」のようなきまりがあります。 つまり数学の「定理」です。
小２向けに表現をすると
かけ算を調べる：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（全部の量）
かけ算のきまり：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（いくつ分）×（１つ当たり）＝（全部の量）
算数では、どのようになるか調べて、式の書き方を学びます。 その式の書き方からきまりを発見します。
大人向けに表現をすると
定義：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（全部の量）
定理：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（いくつ分）×（１つ当たり）＝（全部の量）
数学では「定義」をして、「定義」から導かれるのが「定理」です。
数学を専門としている方は、定義とは、考え方の指標や基準です。 定理とは、使い方の基準です。
>>> ----- テストの誤答 ----- <<<
かけ算を調べる：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（全部の量）
かけ算のきまり：（１つ当たり）×（いくつ分）＝（いくつ分）×（１つ当たり）＝（全部の量）
「小２のかけ算の交換法則」を学ぶ前は、「かけ算を調べる」どおり書くことを生徒に指導していると思います。
「小２のかけ算の交換法則」を学んだ後は、「かけ算のきまり」を用いてよいと思います。
> ５人に３個ずつ蜜柑を配った。蜜柑の数は全部でいくつ？
> ＜不正解＞ ５×３＝１５ 答え １５個
私は、「かけ算の調べる」（つまり基準として）通りに式を立てられるのか？
それをテストで確認していると思います。
>>140 QueueとMarkovは無関係ではありませんが、厳密には独立したものです。
Queueそのものはある一定の決定的な仕組みで動いているのであれば、
決定論的なものとみなしても良いですし、スーパーのレジさんのようにランダム要素を持っている
ものを導入しても良いので、問題に応じて、決定論的な話にも確率論的な話にもできます。
一方マルコフ過程は確率過程の数理モデルです。
Queueing theory と言えばマルコフ過程が主なのですが、それはこの分野が
電信電話ネットワークの解析に利用されていたことが大きいです。
当然のことながら、別の用途が見つかったら、それを研究する人口が増えて
そちらが主になることもありますので、関係性は時代とともに変化していくものと考えてください。
先に述べた話は network calculus という語で検索していただくとよろしいかと思います。
Springerで出版されている本と同等のものがPDFで著者のサイトで公開されていたりもします。
network calculus は元は電子回路か何かの伝達関数とかそういう言葉が出てくる理論を
通信ネットワーク用に拡張した歴史があるようです。極最近です。
電子回路の方では (plus,times)-algebra （通常の代数）のところが
network calculus では (min,plus)-algebra に置き換えされたアナロジです。
Queueそのものはある一定の決定的な仕組みで動いているのであれば、
決定論的なものとみなしても良いですし、スーパーのレジさんのようにランダム要素を持っている
ものを導入しても良いので、問題に応じて、決定論的な話にも確率論的な話にもできます。
一方マルコフ過程は確率過程の数理モデルです。
Queueing theory と言えばマルコフ過程が主なのですが、それはこの分野が
電信電話ネットワークの解析に利用されていたことが大きいです。
当然のことながら、別の用途が見つかったら、それを研究する人口が増えて
そちらが主になることもありますので、関係性は時代とともに変化していくものと考えてください。
先に述べた話は network calculus という語で検索していただくとよろしいかと思います。
Springerで出版されている本と同等のものがPDFで著者のサイトで公開されていたりもします。
network calculus は元は電子回路か何かの伝達関数とかそういう言葉が出てくる理論を
通信ネットワーク用に拡張した歴史があるようです。極最近です。
電子回路の方では (plus,times)-algebra （通常の代数）のところが
network calculus では (min,plus)-algebra に置き換えされたアナロジです。
>>141
>「小２のかけ算の交換法則」を学ぶ前は、「かけ算を調べる」どおり書くことを生徒に指導していると思います。
>「小２のかけ算の交換法則」を学んだ後は、「かけ算のきまり」を用いてよいと思います。
塾で先取り学習していて学んでいる子はどちらに分類したら良いでしょうか。
関係ないかもしれませんが、私は算数の文章題は「国語の問題」だと子供の頃思っていました。
IQテストのような問題やパズル、図形、計算は楽しかったのですけども。
国語はちょっと不得意でした。
しかし自国の言語をきっちりと使いこなすスキルはとても大事ですから、
本当は、書かれていることから確実に推論できることは何かといった正しく文章を読む訓練や
論理的な推論の訓練も「国語」の時間にしていただけると良いなと思うわけです。
>「小２のかけ算の交換法則」を学ぶ前は、「かけ算を調べる」どおり書くことを生徒に指導していると思います。
>「小２のかけ算の交換法則」を学んだ後は、「かけ算のきまり」を用いてよいと思います。
塾で先取り学習していて学んでいる子はどちらに分類したら良いでしょうか。
関係ないかもしれませんが、私は算数の文章題は「国語の問題」だと子供の頃思っていました。
IQテストのような問題やパズル、図形、計算は楽しかったのですけども。
国語はちょっと不得意でした。
しかし自国の言語をきっちりと使いこなすスキルはとても大事ですから、
本当は、書かれていることから確実に推論できることは何かといった正しく文章を読む訓練や
論理的な推論の訓練も「国語」の時間にしていただけると良いなと思うわけです。
> 143 Pawnさん
>>「小２のかけ算の交換法則」を学ぶ前は、「かけ算を調べる」どおり書くことを生徒に指導していると思います。
>>「小２のかけ算の交換法則」を学んだ後は、「かけ算のきまり」を用いてよいと思います。
>塾で先取り学習していて学んでいる子はどちらに分類したら良いでしょうか。
原則は、教科書に合わせることです。
後は、塾などで教えている教師側の教え方になると思います。
ただ、１つだけ言えるのは。
次のようにすれば、点数の「○」をもらえることです。
５人に３個ずつ蜜柑を配った。蜜柑の数は全部でいくつ？
●（個） × ▲（倍） ＝ 全部の（個）
３（個） × ５（倍） ＝ １５（個）
「かけ算の調べる」でも「かけ算のきまり」でも、どちらでも点数の「○」がもらえます。
※『正解の「○」』ではなくて『点数の「○」』です。 誤解なく！
もし、私が小２に指導するならば。
＜機械的にする場合＞
単に点数だけを取りたいのであれば、
（答えの単位）×（何倍）＝（全部の単位）
サンドイッチのように、機械的に覚えて解いてもらえれば、減点されることはないです。
＜調べる場合＞
（１つ当たり）×（いくつ分）＝（全部の量）
（１つ当たり）が３個の蜜柑、（いくつ分）が５人の人数だから、（全部の量）は１５個の蜜柑と考えれば、それに越したことはないです。
「単に点数だけを上げたい場合」と「１つ１つを考えながらする場合」は、学ぶ生徒の学力（理解力）に合わせて指導すればよいと思います。
テストが１週間後であれば、機械的に指導した方が無難です。
テストが２ヶ月後であれば、ゆっくり考えさせながら指導すればよいと思います。
なので、「教科書の進み具合」と「生徒の学力（理解力）」でどちらが良いかは、指導する側が決めてあげればよいと思います。
現在の小２は、そのように指導を受けているので、それに合わせて指導すればよいのではないのでしょうか？
私が家庭教師で教える場合は、点数が取れる方法を指導しますね。
最年少の生徒では、小３の生徒を教えたことはあります。
>>「小２のかけ算の交換法則」を学ぶ前は、「かけ算を調べる」どおり書くことを生徒に指導していると思います。
>>「小２のかけ算の交換法則」を学んだ後は、「かけ算のきまり」を用いてよいと思います。
>塾で先取り学習していて学んでいる子はどちらに分類したら良いでしょうか。
原則は、教科書に合わせることです。
後は、塾などで教えている教師側の教え方になると思います。
ただ、１つだけ言えるのは。
次のようにすれば、点数の「○」をもらえることです。
５人に３個ずつ蜜柑を配った。蜜柑の数は全部でいくつ？
●（個） × ▲（倍） ＝ 全部の（個）
３（個） × ５（倍） ＝ １５（個）
「かけ算の調べる」でも「かけ算のきまり」でも、どちらでも点数の「○」がもらえます。
※『正解の「○」』ではなくて『点数の「○」』です。 誤解なく！
もし、私が小２に指導するならば。
＜機械的にする場合＞
単に点数だけを取りたいのであれば、
（答えの単位）×（何倍）＝（全部の単位）
サンドイッチのように、機械的に覚えて解いてもらえれば、減点されることはないです。
＜調べる場合＞
（１つ当たり）×（いくつ分）＝（全部の量）
（１つ当たり）が３個の蜜柑、（いくつ分）が５人の人数だから、（全部の量）は１５個の蜜柑と考えれば、それに越したことはないです。
「単に点数だけを上げたい場合」と「１つ１つを考えながらする場合」は、学ぶ生徒の学力（理解力）に合わせて指導すればよいと思います。
テストが１週間後であれば、機械的に指導した方が無難です。
テストが２ヶ月後であれば、ゆっくり考えさせながら指導すればよいと思います。
なので、「教科書の進み具合」と「生徒の学力（理解力）」でどちらが良いかは、指導する側が決めてあげればよいと思います。
現在の小２は、そのように指導を受けているので、それに合わせて指導すればよいのではないのでしょうか？
私が家庭教師で教える場合は、点数が取れる方法を指導しますね。
最年少の生徒では、小３の生徒を教えたことはあります。
なるほどなるほど。私の視点から見ると、評価はあくまで評価であって、その人の「才能」を表しているわけではない。という解釈に合致しますね。
大学でも教員の評価として「論文数」だけのカウントがありますが、
難しいことをやれば当然数は減るものですし、分野が全然違うのに一緒くたにされて
首切りの材料にしようとしてくるなんてこともあります。
銅鉄論文が価値を持つ場合もありますけれども、そんなのは一つの論文にしかカウントしなければ良いのですけどね。
ですので、点数とか評価とか×とかをそれほど重視せず、あくまで
議論してその子の本当の理解と理解不足を把握するためにテストを利用していただきたいものです。
大学でも教員の評価として「論文数」だけのカウントがありますが、
難しいことをやれば当然数は減るものですし、分野が全然違うのに一緒くたにされて
首切りの材料にしようとしてくるなんてこともあります。
銅鉄論文が価値を持つ場合もありますけれども、そんなのは一つの論文にしかカウントしなければ良いのですけどね。
ですので、点数とか評価とか×とかをそれほど重視せず、あくまで
議論してその子の本当の理解と理解不足を把握するためにテストを利用していただきたいものです。
- mixiユーザー
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