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数学の質問&宿題○投げ場コミュの空間ベクトルの問題です。

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コミュ内全体

空間の点A(−3、2、4)と、平面 2x+4y-3z=8 との間の最短距離を求めよ。
また、その最短距離である平面上の点Cを求めよ。

答えは距離が 18/√(29)、
点Cが、(-51/29, 130/29, 62/29) となります。

過程を教えて頂けたら有り難いです。

よろしくお願いします。

コメント(2)

距離は公式で求められ(http://mathtrain.jp/tentoheimen)

|2*(-3)+4*2-3*4-8|/√(2^2+4^2+3^2)=18/√29

改めて求めると、
平面の法線ベクトルの一つは(2,4,-3) である。このベクトルの大きさは√29

点Cはkを実数として
OC↑=OA↑+k(2,4,-3)=(-3+2k,2+4k,4-3k) と書ける。
この際、距離は (√29)k となる.

Cは与平面上の点だから、平面の方程式に代入すると
2(-3+2k)+4(2+4k)-3(4-3k)=8
-18+29k=0
k=18/29

よって、距離は (√29)k=18√29
Cの座標はkの値を代入して
(-3+2*18/29,2+4*18/29,4-3*18/29)
これを計算して
(-51/29,130/29,62/29)

となることが確かめられる。

>>[1]

すっきり理解できました。
ありがとうございます!

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