ＦＥＭ：有限要素法コミュの片持ちはりにおける材料力学モデルの仮定

　片持ちはりというモデルは、材料力学の公式で変位、応力が容易に求められる点でＦＥＭプログラムの動作検証、精度確認で良く使われる。ただ、高い精度で検討する際には、少し注意が要る。それは、材料力学での片持ちはりの固定端の拘束条件は、厳密な意味で、ＦＥＭ解析モデルとは少し異なるということである。異なる点は次の通り。

・材料力学での取り付け端ではｘ方向に動かないということのみ。ｙ方向に拘束していない。
・ｙ方向荷重の反力を取り付け面全体で均一に分担しているようにみえる。

　そこで、材料力学での解とＦＥＭ解とを比較してみることにした。左の図は片持ちはりの要素分割図であり、はりの左端を拘束、はりの右端に下向き荷重を掛けている。要素は2Ｄの四角形2次要素。今回、取り付け端での拘束条件を3種類変えてみて、材料力学の公式で求めた変位、応力と比較してみた。変位は先端の最大変位、応力は根元の最大x応力。
長さ100mm、高さ20mm、奥行き1mm、荷重200N、ヤング率210GPa

解析モデルNo.1の拘束条件：左端、全節点を固定（ｘ、ｙとも拘束）
解析モデルNo.2の拘束条件：下の節点のみ固定、あとはｘのみ拘束
解析モデルNo.3の拘束条件：中央の節点のみ固定、あとはｘのみ拘束

結果は次の通り。
・材料力学での最大変位（せん断変形含む）：0.49105mm、最大応力M/Z=300 MPa
・解析モデルNo.1　最大変位：0.4894mm（-0.33％）　最大応力：376 MPa(+25%)
・解析モデルNo.2　最大変位：0.4918mm(+0.15%)　最大応力：457 MPa(+52%)
・解析モデルNo.3　最大変位：0.4935mm(+0.5%)　最大応力：306 MPa(+2.0%)

　この結果から、最も材料力学モデルに近いのがNo.3のモデルだろうと思う。変位の誤差はいずれも1％未満であり、十分小さいが、応力に有意差が出ている。
　右図はNo.2のｘ応力分布図であり、固定している下端の節点付近に応力の乱れが生じており、ここでの応力値が高い。他のモデルでは特に乱れは見られない。